有限元技術(shù)：現(xiàn)代力學(xué)與計算機

20世紀60年代以來,力學(xué)進入新的時代──現(xiàn)代力學(xué)時代,由于電子計算機的飛躍發(fā)展和廣泛應(yīng)用,由于基礎(chǔ)科學(xué)和技術(shù)科學(xué)各學(xué)科間相互滲透和綜合傾向的出現(xiàn);以及宏觀和微觀相結(jié)合的研究途徑的開拓,力學(xué)出現(xiàn)了嶄新的面貌。

計算機的沖擊

電子計算機自1946年問世以后,計算速度、存儲容量和運算能力不斷提高,過去力學(xué)工作中大量復(fù)雜、困難而使人不敢問津的問題,因此有了解決的門路。計算機改變了力學(xué)的面貌,也改變了力學(xué)家的思想方法。

有限差分方法很早被用于強爆炸沖擊波計算,還隨著出現(xiàn)了人工粘性、激波裝配等克服間斷性困難的辦法。1963年J.E.弗羅姆和F.H.哈洛成功地計算了長方形柱體的繞流問題,給出柱體尾流渦街的形成和隨時間的演變過程,并以《流體力學(xué)中的計算機實驗》為題作了介紹,這一事件被看作是Link title計算流體力學(xué)興起的標志。

彈塑性動力學(xué)問題也用差分法作了有效的計算。在計算的實踐中還創(chuàng)立了很多新概念,從運用傳統(tǒng)的拉格朗日方法和歐拉方法等算法,發(fā)展到在差分格子里討論質(zhì)量、動量和能量的輸運和均衡,建立了所謂離散力學(xué)。

最令人鼓舞和驚嘆的還是60年代有限元法的興起。有限元法發(fā)源于結(jié)構(gòu)力學(xué)。一個連續(xù)體結(jié)構(gòu)經(jīng)離散化為桿件(有限元)的組合后,計算機可以輕巧地對這種復(fù)雜桿件系統(tǒng)作出計算。有限元法一出現(xiàn)就顯示出無比的優(yōu)越性,它迅速的占領(lǐng)了整個彈性靜力學(xué)。

經(jīng)過一段關(guān)于有限元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和收斂性問題的深入討論之后,認清了有限元法和變分原理的關(guān)系。力學(xué)家們自覺地以各種變分原理為基礎(chǔ)建立了不同形式的桿元、板元、殼元、夾層板元、三維應(yīng)力元、半無限元、奇異元、雜交元等,發(fā)揮了有限元法的巨大威力。

隨后它又沖出彈性靜力學(xué)的范圍,被廣泛應(yīng)用于彈性動力學(xué)、瞬態(tài)分析、塑性力學(xué)、流場分析,并向傳熱學(xué)、電磁場等非力學(xué)領(lǐng)域滲透,顯示了極為光輝的前途。

孤立子和混沌現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)是計算機給力學(xué)以深刻影響的兩個突出的例子。非線性波的研究在水波、氣體和等離子體中的沖擊波和彈塑性波等領(lǐng)域中受到重視。1965年N.J.扎布斯基和K.D.克魯斯卡爾利用計算機對淺水波的KdV方程進行數(shù)值積分,發(fā)現(xiàn)在直線上行進的孤立波碰撞前后的形狀相同,具有粒子的性質(zhì)。這一發(fā)現(xiàn)和后繼的研究使非線性波理論煥然一新,應(yīng)用范圍遍及大氣、洋流、晶格力學(xué),以至非線性光學(xué)和粒子物理學(xué)等。

混沌現(xiàn)象的最早例子是E.N.洛倫茨1963年在研究大氣對流問題時通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)的,這件事說明在確定性系統(tǒng)中也可出現(xiàn)類似隨機的過程,這是有序向無序的一種演化過程,是非線性動力學(xué)中一個令人驚異的現(xiàn)象。混沌和有關(guān)的奇怪吸引子理論的一些結(jié)果沖擊了數(shù)學(xué)、物理學(xué)的許多分支。例如湍流問題是流體力學(xué)中長斯存在的難題,分岔和混沌模型結(jié)合在實驗中發(fā)現(xiàn)的擬序結(jié)構(gòu),使這個難題的解決似乎有了新的希望。

計算機驚人的運算能力和對介質(zhì)的力學(xué)性能不甚清楚之間的矛盾,推動了對材料本構(gòu)關(guān)系的深入研究。計算機又使力學(xué)實驗方法現(xiàn)代化,實驗數(shù)據(jù)的采集整理可以借助微型計算機自動實現(xiàn)。計算機甚至可部分地代替某些常規(guī)實驗。

滲透和綜合

航天工程開辟了人們的視野,現(xiàn)代力學(xué)以遠遠超過牛頓時代的水平再度向天文學(xué)滲透。人們用磁流體力學(xué)研究太陽風在地球磁場中形成的沖擊波,用流體力學(xué)結(jié)合恒星動力學(xué)研究密度波,以解釋旋渦星系的螺旋結(jié)構(gòu),以至用相對論流體力學(xué)來研究星系的演化。

航天任務(wù)基本實現(xiàn)之后,60年代起許多力學(xué)家開始轉(zhuǎn)向新的力學(xué)生長點。由馮元楨等奠基創(chuàng)建的生物力學(xué)就是一個科學(xué)滲透的顯著例子。多年來的研究使人們認識到:“沒有生物力學(xué),就不能很好地了解生理學(xué)?！鄙锪W(xué)在考慮生物的形態(tài)和組織的基礎(chǔ)上,測定生物材料的力學(xué)性質(zhì),確定本構(gòu)關(guān)系,再結(jié)合力學(xué)基本原理解決邊值問題,這些已在定量生理學(xué)、心血管系統(tǒng)臨床問題和生物醫(yī)學(xué)工程方面取得不少成就。

現(xiàn)代力學(xué)又向地球科學(xué)滲透,在板塊動力學(xué)、構(gòu)造應(yīng)力場、地震預(yù)報以及用反演法闡明震源機制、地層結(jié)構(gòu)和地質(zhì)材料性質(zhì)方面進行新的探索,并推動巖石力學(xué)的研究。

在工程技術(shù)方面,如能源開發(fā)、環(huán)境保護、材料科學(xué)、海洋工程、安全防護等綜合技術(shù)都提出多種多樣力學(xué)新課題。因此現(xiàn)代力學(xué)都必須和別的學(xué)科相結(jié)合,發(fā)展邊緣學(xué)科解決這些問題。在機器人控制和衛(wèi)星姿態(tài)控制研究中的多剛體系統(tǒng)動力學(xué)問題就需要用由力學(xué)和控制反饋理論相結(jié)合的方法進行研究。

力學(xué)向外滲透的同時,在力學(xué)內(nèi)部也出現(xiàn)了綜合的傾向。從19世紀力學(xué)分為三大支以后,每個分支到20世紀又進一步分化,積累了大量資料,因而提出了概括和提高的任務(wù),需要在統(tǒng)一的基礎(chǔ)上把各個分支學(xué)科綜合起來。

在50年代出現(xiàn)了以C.特魯斯德爾為代表的理性力學(xué)學(xué)派,他們重新檢核了連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和熱力學(xué)的基礎(chǔ),在1958年由W.諾爾提出以確定性原理、局部作用原理和材料的標架無關(guān)性原理作為三條公理,按照過去達朗伯關(guān)于理性的力學(xué)必須建立在顯然的公理上的思想,運用演繹的方法推導(dǎo)出彈性和粘性等簡單物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系。

在60~70年代,公理系統(tǒng)續(xù)有擴大,經(jīng)統(tǒng)一處理的理想材料包括粘彈性和塑性等記憶材料,具有微結(jié)構(gòu)的有向材料,非局部作用模型、混合材料以及熱-力耦合材料等。在統(tǒng)一處理材料本構(gòu)關(guān)系的同時,理性力學(xué)學(xué)派還綜合討論了各種介質(zhì)應(yīng)共同遵守的通有原理和共有的現(xiàn)象和方法如波動、穩(wěn)定性、變分方法等。

錢學(xué)森指出,理性力學(xué)就是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基礎(chǔ)理論,它的任務(wù)是審核復(fù)雜物性物質(zhì)或材料的基本方程是否和熱力學(xué)、力學(xué)基本原理相容,因而有重要的實際意義。

宏觀和微觀相結(jié)合

從構(gòu)成物質(zhì)的微觀粒子(如分子、原子、電子)或者細觀結(jié)構(gòu)(如晶粒、分子鏈)的性質(zhì)及其相互作用出發(fā)來確定材料的宏觀性質(zhì)(如本構(gòu)關(guān)系中的彈性系數(shù)、松弛函數(shù)、熱導(dǎo)率、比熱),或者解釋變形或破壞的機制等等,從40年代到50年代已積累了大量結(jié)果。用統(tǒng)計力學(xué)方法處理氣體的平衡問題已較成熟,但對液體和固體的問題,以及非平衡過程方面的問題則很差。

在40年代用統(tǒng)計力學(xué)處理高分子材料的分子網(wǎng)絡(luò),得到的貯能函數(shù)和用非線性彈性理論所得到的非常接近。這個結(jié)果令人鼓舞,但限于彈性范圍。1936年G.I.泰勒提出的金屬中的位錯假說,50年代已被實驗證實,并在60年代發(fā)展成位錯動力學(xué)。用位錯參數(shù)表達的奧羅萬應(yīng)變率公式已經(jīng)通過“內(nèi)變量”的橋梁進入宏觀的本構(gòu)關(guān)系,溝通了宏觀和微觀的關(guān)系。

材料中往往存在大量裂紋、損傷或裂隙,使連續(xù)介質(zhì)發(fā)生間斷并影響其力學(xué)性能。位錯理論和斷裂力學(xué)分別從微觀和宏觀的角度突出了缺陷材料性能的重要性,兩者之間有密切聯(lián)系。斷裂力學(xué)在60年代迅速發(fā)展,改變了對強度安全設(shè)計和材料評價的傳統(tǒng)看法。

宏觀和微觀的溝通還表現(xiàn)在某些觀點上。19世紀統(tǒng)計力學(xué)建立以來,經(jīng)典力學(xué)中的確定論和統(tǒng)計力學(xué)中的隨機論一直是截然不同的兩種觀點。60~70年代力學(xué)和物理學(xué)中對混沌現(xiàn)象的研究說明,經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)自身具有內(nèi)在的隨機性。人們又得重新估計經(jīng)典力學(xué)和統(tǒng)計力學(xué)之間的聯(lián)系。

幾千年來人類對物質(zhì)機械運動即力學(xué)規(guī)律的認識,經(jīng)歷了由淺入深、由表及里的過程。科學(xué)的發(fā)展總的說來是既有綜合又有分析,但在特定的階段可能有所側(cè)重。

自然科學(xué)最早是統(tǒng)一的無所不包的自然哲學(xué),以后物理學(xué)從其中分出來,力學(xué)又從物理學(xué)中分出來,后來力學(xué)出現(xiàn)分支學(xué)科,再派生出新的分支學(xué)科,與此同時還出現(xiàn)綜合的傾向。

有一種觀點認為,當代自然科學(xué)的總趨勢是由交叉學(xué)科、邊緣學(xué)科發(fā)展成為綜合性更強的科學(xué)。如果真是這樣,力學(xué)未來的面目也許很不同于今天。然而有一點則是肯定的,人們對物質(zhì)世界的認識總是在原先積累的基礎(chǔ)上進一步深化。無數(shù)相對真理的總和,就是絕對真理。