有限元法，有限差分法和有限體積法的區(qū)別

1. FDM

1.1概念
有限差分方法(FDM)是計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法,至今仍被廣泛運(yùn)用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格,用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法,把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散,從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法,數(shù)學(xué)概念直觀,表達(dá)簡單,是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。

1.2差分格式

(1)從格式的精度來劃分,有一階格式、二階格式和高階格式。

(2)從差分的空間形式來考慮,可分為中心格式和逆風(fēng)格式。

(3)考慮時(shí)間因子的影響,差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。

目前常見的差分格式,主要是上述幾種形式的組合,不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格,網(wǎng)格的步長一般根據(jù)實(shí)際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來決定。

1.3構(gòu)造差分的方法

構(gòu)造差分的方法有多種形式,目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達(dá)式主要有三種形式:一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等,其中前兩種格式為一階計(jì)算精度,后兩種格式為二階計(jì)算精度。通過對時(shí)間和空間這幾種不同差分格式的組合,可以組合成不同的差分計(jì)算格式。

2. FEM

2.1概述

有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法,其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元,在每個(gè)單元內(nèi),選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn),將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式,借助于變分原理或加權(quán)余量法,將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式,便構(gòu)成不同的有限元方法。

2.2原理

有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué),后來隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)、土力學(xué)的數(shù)值模擬。在有限元方法中,把計(jì)算域離散剖分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元,在每個(gè)單元內(nèi)選擇基函數(shù),用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解,整個(gè)計(jì)算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個(gè)單元基函數(shù)組成的,則整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。在河道數(shù)值模擬中,常見的有限元計(jì)算方法是由變分法和加權(quán)余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。

根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同,有限元方法也分為多種計(jì)算格式。

(1)從權(quán)函數(shù)的選擇來說,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法;

(2)從計(jì)算單元網(wǎng)格的形狀來劃分,有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格;

(3)從插值函數(shù)的精度來劃分,又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。

不同的組合同樣構(gòu)成不同的有限元計(jì)算格式。

對于權(quán)函數(shù),伽遼金(Galerkin)法是將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù);最小二乘法是令權(quán)函數(shù)等于余量本身,而內(nèi)積的極小值則為對代求系數(shù)的平方誤差最小;在配置法中,先在計(jì)算域內(nèi)選取N個(gè)配置點(diǎn)。令近似解在選定的N個(gè)配置點(diǎn)上嚴(yán)格滿足微分方程,即在配置點(diǎn)上令方程余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項(xiàng)式組成,但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示,但最常用的多項(xiàng)式插值函數(shù)。

有限元插值函數(shù)分為兩大類,一類只要求插值多項(xiàng)式本身在插值點(diǎn)取已知值,稱為拉格朗日(Lagrange)多項(xiàng)式插值;另一種不僅要求插值多項(xiàng)式本身,還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值點(diǎn)取已知值,稱為哈密特(Hermite)多項(xiàng)式插值。單元坐標(biāo)有笛卡爾直角坐標(biāo)系和無因次自然坐標(biāo),有對稱和不對稱等。常采用的無因次坐標(biāo)是一種局部坐標(biāo)系,它的定義取決于單元的幾何形狀,一維看作長度比,二維看作面積比,三維看作體積比。在二維有限元中,三角形單元應(yīng)用的最早,近來四邊形等參元的應(yīng)用也越來越廣。對于二維三角形和四邊形電源單元,常采用的插值函數(shù)為有Lagrange插值直角坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。

2.3基本原理與解題步驟

對于有限元方法,其基本思路和解題步驟可歸納為:

(1)建立積分方程,根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理,建立與微分方程初邊值問題等價(jià)的積分表達(dá)式,這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。

(2)區(qū)域單元剖分,根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理特點(diǎn),將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作,這部分工作量比較大,除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號和確定相互之間的關(guān)系之外,還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo),同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號和相應(yīng)的邊界值。

(3)確定單元基函數(shù),根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對近似解精度的要求,選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的,由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀,在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。

(4)單元分析:將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近;再將近似函數(shù)代入積分方程,并對單元區(qū)域進(jìn)行積分,可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值)的代數(shù)方程組,稱為單元有限元方程。

(5)總體合成:在得出單元有限元方程之后,將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加,形成總體有限元方程。

(6)邊界條件的處理:一般邊界條件有三種形式,分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件,一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件,需按一定法則對總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。

(7)解有限元方程:根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組,是含所有待定未知量的封閉方程組,采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解,可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。

3.有限體積法

有限體積法(FiniteVolumeMethod)又稱為控制體積法。其基本思路是:將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積,并使每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)周圍有一個(gè)控制體積;將待解的微分方程對每一個(gè)控制體積積分,便得出一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點(diǎn)上的因變量的數(shù)值。為了求出控制體積的積分,必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律,即假設(shè)值的分段的分布的分布剖面。從積分區(qū)域的選取方法看來,有限體積法屬于加權(quán)剩余法中的子區(qū)域法;從未知解的近似方法看來,有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡言之,子區(qū)域法屬于有限體積發(fā)的基本方法。有限體積法的基本思路易于理解,并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義,就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理,如同微分方程表示因變量在無限小的控制體積中的守恒原理一樣。限體積法得出的離散方程,要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足,對整個(gè)計(jì)算區(qū)域,自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優(yōu)點(diǎn)。有一些離散方法,例如有限差分法,僅當(dāng)網(wǎng)格極其細(xì)密時(shí),離散方程才滿足積分守恒;而有限體積法即使在粗網(wǎng)格情況下,也顯示出準(zhǔn)確的積分守恒。就離散方法而言,有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律(既插值函數(shù)),并將其作為近似解。有限差分法只考慮網(wǎng)格點(diǎn)上的數(shù)值而不考慮值在網(wǎng)格點(diǎn)之間如何變化。有限體積法只尋求的結(jié)點(diǎn)值,這與有限差分法相類似;但有限體積法在尋求控制體積的積分時(shí),必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的分布,這又與有限單元法相類似。在有限體積法中,插值函數(shù)只用于計(jì)算控制體積的積分,得出離散方程之后,便可忘掉插值函數(shù);如果需要的話,可以對微分方程中不同的項(xiàng)采取不同的插值函數(shù)。

4.比較分析

有限差分法(FDM):直觀,理論成熟,精度可眩但是不規(guī)則區(qū)域處理繁瑣,雖然網(wǎng)格生成可以使FDM應(yīng)用于不規(guī)則區(qū)域,但是對區(qū)域的連續(xù)性等要求較嚴(yán)。使用FDM的好處在于易于編程,易于并行。

有限元方法(FEM):適合處理復(fù)雜區(qū)域,精度可眩缺憾在于內(nèi)存和計(jì)算量巨大。并行不如FDM和FVM直觀。不過FEM的并行是當(dāng)前和將來應(yīng)用的一個(gè)不錯(cuò)的方向。

有限容積法:適于流體計(jì)算,可以應(yīng)用于不規(guī)則網(wǎng)格,適于并行。但是精度基本上只能是二階了。FVM的優(yōu)勢正逐漸顯現(xiàn)出來,FVM在應(yīng)力應(yīng)變,高頻電磁場方面的特殊的優(yōu)點(diǎn)正在被人重視。