搜索流體運動的拉格朗日描述和歐拉描述及聲波方程
2017-02-27 by:CAE仿真在線 來源:互聯(lián)網(wǎng)
摘要:拉格朗日描述與歐拉描述乃描述流體運動的兩種體系。兩種描述對于線性聲學幾無分別,但對非線性聲學則不然。人們或慣用歐拉描述分析求解聲學問題,但對有些非線性問題若采用拉格朗日描述更直接了當,更易求得解析解。本文概論概述兩種描述,探討拉格朗日描述下流體運動的基本方程,最后給出一維的非線性聲波方程。
何謂拉格朗日描述和歐拉描述?
欲描述流體的運動,既可選擇拉格朗日坐標體系,也可采用歐拉坐標體系。拉格朗日描述取初始時刻(如時間t=0)流體質(zhì)點的三維位置矢量R=(a,b,c)作為空間變量,并標記該流體質(zhì)點。隨著流體的運動,t時刻的質(zhì)點運動至新的三維空間位置r=(x,y,z)。顯然,r與R具有函數(shù)關系:r=r(R,t),或用笛卡爾坐標分量表示
該關系其實給出了流體質(zhì)點在空間的運動軌跡。由此可求出質(zhì)點運動的速度——流速v。
顯然,不同的質(zhì)點具有不同的速度,即流速v不但是時間的函數(shù),也是初始位置R的函數(shù)。不僅如此,任何描述流體狀態(tài)的物理量(例如密度ρ)均屬流體質(zhì)點所“攜帶”的。不同質(zhì)點的運動狀態(tài)當然不同;故流體的任何物理量不僅是時間t的函數(shù),也是初始坐標矢量R的函數(shù),例如,密度ρ=ρ(R,t)。此種以流體質(zhì)點初始位置R和時間t描述流體運動的方法,即所謂的拉格朗日描述,其中R=(a, b, c)是拉格朗日坐標。其實,拉格朗日坐標相當于質(zhì)點的“標簽”。所以,拉格朗日描述記錄了質(zhì)點的時間演化,既可追溯質(zhì)點的既往,也可預測質(zhì)點的未來。
與一般的流動不同,聲學問題中的質(zhì)點運動是圍繞初始位置R=(a, b, c)的質(zhì)點振動。記振動位移矢量為δr=(ξ,η,ζ),則r=R+δr,或者,
當然,位移δr也是初始位置R=(a, b, c)和時間t的函數(shù):δr=δr(R, t),或用分量表示:
與拉格朗日描述不同,歐拉描述乃現(xiàn)實主義的描述手法。它僅關注“現(xiàn)在”——t 時刻處于空間r=(x,y,z)位置的質(zhì)點。在此描述下,所有物理量皆表為空間位置坐標r(歐拉坐標)和時間t的函數(shù),例如密度ρ=ρ(r,t)。所以,歐拉描述所描繪的是流場在不同時刻的瞬時空間分布,其空間坐標r=(x,y,z)是純數(shù)學的獨立變量。
兩種描述的關系
雖然如此,t 時刻位于空間位置r=(x,y,z)的流體質(zhì)點并非“空穴來風”,而是從別處遷移而來。運動規(guī)律r=r(R,t)或公式(1)可對質(zhì)點“追根溯源”:原則上,根據(jù)當前的空間位置r反推初始位置R。據(jù)此,歐拉描述和拉格朗日描述可以相互轉(zhuǎn)換。為明確起見,特以上標(L)和(E)分別標記拉格朗日和歐拉體系下的物理量,例如密度ρ(L)(R,t)和ρ(E)(r,t)。據(jù)上論述,
諸如聲波這般流體運動,位移δr的量值一般很小(即,δr的范數(shù)||δr||<<1),因此可以對上式右端作泰勒展開:
式中,歐拉空間的梯度算符:
可見,已知位移δr=(ξ,η,ζ),就可從歐拉體系的物理量求得拉格朗日體系的對應量。反之,若函數(shù)r=r(R,t)連續(xù)可逆,可求得逆函數(shù)R=R(r,t),從而可把拉格朗日體系的物理量轉(zhuǎn)換為歐拉體系的【注1】。特別是,對于小位移振動的情形,有如下展開
式中,拉格朗日空間的梯度算符
可見,拉格朗日描述的物理量ρ(L)(R,t)與歐拉描述的ρ(E)(r,t)僅相差量級O(||δr||)。
數(shù)學上,函數(shù)關系r=r(R,t)或公式(1)所表達的是以時間t為參變數(shù)的空間映射:
矢量r在拉格朗日空間的梯度:
是一個“矢量的矢量”——張量,刻畫了映射的性質(zhì),式中I是單位張量。J也可用等價的雅可比矩陣形式表示:
式中的下標表示對相應變量(a,b,c)的導數(shù),例如:
連續(xù)性方程
設某質(zhì)點的初始體積ΔV0(→0),t 時刻的體積ΔV。根據(jù)數(shù)學分析,雅可比矩陣J的行列式(記為|J|)是在映射(4)下質(zhì)點體積元的縮放因子:
設流體初始的質(zhì)量密度為ρ0,t時刻的質(zhì)量密度為ρ。根據(jù)質(zhì)量守恒定律,ρ0ΔV0=ρΔV。將上式代入,得到拉格朗日坐標下的連續(xù)性方程
對于一維的情形,根據(jù)定義(6)知|J|=1+ξa,公式(7)遂簡為:
運動方程
理想流體的運動遵循歐拉方程:
式中,P是流體壓強。在拉格朗日體系中,速度v也是拉格朗日坐標R=(a,b,c)和時間t的函數(shù):v = v(R, t)。所以,加速度dv/dt是對v的時間偏導數(shù)。如此,上列歐拉方程可改寫為
在此方程的等式兩端同時點乘矢量:
并利用微分關系
得到
同理,可得
三個方程合而為一,可表為
此即拉格朗日體系的流體運動方程。式中,雅可比矩陣J由公式(6)給出?；蛘?利用公式(5)用位移矢量δr表示,
如以矩陣表示,則可表為矩陣形式
在一維情形,J = 1+ξa,方程(8)于是簡化為:
其中已經(jīng)利用了連續(xù)性方程(7a)?？梢?拉格朗日描述下質(zhì)點的一維運動方程是線性的。當然,質(zhì)點運動仍是非線性的,集中體現(xiàn)在連續(xù)性方程(7)以及(下述的)狀態(tài)方程中。
一維理想流體的非線性聲波方程
理想流體(如氣體)滿足絕熱狀態(tài)方程:P=P(ρ)。利用連續(xù)性方程 (7a),則:
代入一維運動方程(10)的右端,得到非線性聲波方程
其中P'(ρ)=dP/dρ。如果|ξa|<<1,則可對方程(11)作線性化處理,從而得到熟知的線性波動方程。若|ξa|<1,則有泰勒展開:
式中,c0是熟知的線性聲速,而β是非線性系數(shù),衡量媒質(zhì)本身(二次)非線性的大小。若僅計及二階非線性小量,則方程(11)可近似為
方程的左端是標準的一維波動方程,而右端的非齊次項是二次非線性的貢獻。
【注1】在諸如湍流等復雜流動情形,可逆性或許不存在,兩種描述難于轉(zhuǎn)換。
本文來源于網(wǎng)易聲之韻博客,作者王新龍,南京大學聲學研究所。
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