基于CAE的試驗(yàn)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)有限元模型確認(rèn)

在航空航天工程中,結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)有限元建模是氣動(dòng)彈性分析的基礎(chǔ),因此,準(zhǔn)確的有限元模型對(duì)于氣動(dòng)彈性的分析至關(guān)重要。以提高建模精度為目標(biāo)的有限元模型修正技術(shù)的發(fā)展日趨完善,并已逐步在航空、航天領(lǐng)域中得到應(yīng)用,但是模型修正技術(shù)未能全面解決建模精度中存在的問(wèn)題。建模過(guò)程中的不確定因素,比如離散化誤差、材料物理參數(shù)的不確定性、邊界條件的近似、缺乏阻尼參數(shù)等,將導(dǎo)致有限元模型存在誤差。在設(shè)計(jì)規(guī)范中,有限元模型必須通過(guò)模態(tài)試驗(yàn)或者地面共振試驗(yàn)(GVT)來(lái)檢驗(yàn)。

最近30多年以來(lái),有限元模型修正技術(shù)得到快速發(fā)展,根據(jù)修正的對(duì)象的不同可以分為矩陣型修正和元素型修正。元素型修正是以矩陣元素或結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)為修正對(duì)象。其物理意義明確,相對(duì)更具有工程應(yīng)用價(jià)值,而本文則主要采用的基于靈敏度分析的設(shè)計(jì)參數(shù)修正方法。

基于靈敏度分析的設(shè)計(jì)參數(shù)型修正方法主要包括待修正設(shè)計(jì)參數(shù)的選擇,靈敏度分析,參數(shù)修正以及模型確認(rèn)等環(huán)節(jié)。待修正設(shè)計(jì)參數(shù)的選擇是模型修正的起始環(huán)節(jié),而候選參數(shù)是有限元模型存在不確定性因素的參數(shù)。在30多年中,發(fā)展了很多種參數(shù)選擇或者誤差定位策略與算法,但工程應(yīng)用中仍然難以準(zhǔn)確無(wú)遺漏地確定誤差參數(shù)。

模型確認(rèn)通過(guò)計(jì)算與試驗(yàn)兩方面的分析,對(duì)有限元模型在設(shè)計(jì)空間的響應(yīng)預(yù)報(bào)精度進(jìn)行評(píng)價(jià)和確認(rèn),并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行模型修正,為進(jìn)一步的應(yīng)用提供精確可信的有限元模型以及響應(yīng)計(jì)算方法。因此,有限元模型確認(rèn)的研究目標(biāo)有兩個(gè):結(jié)合有限的試驗(yàn)分析,獲得精確可信的確定性的有限元模型;并獲得進(jìn)行下一步的響應(yīng)預(yù)報(bào)所需要的計(jì)算參數(shù),其分析的技術(shù)流程如圖1所示。

    圖1 模型確認(rèn)流程圖

本文主要是結(jié)合了數(shù)值分析技術(shù)與試驗(yàn)分析技術(shù),對(duì)有限元模型進(jìn)行修正,然后分析其動(dòng)力學(xué)特性,并將該模型用于后續(xù)的顫振分析及結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析中。將有限元法和基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)的模型確認(rèn)方法結(jié)合成分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的方法,并驗(yàn)證該方法的合理性。通過(guò)試驗(yàn)分析數(shù)據(jù)與修正后的有限元分析數(shù)據(jù)對(duì)比發(fā)現(xiàn),其修正后的有限元精度較高,能夠使該模型適合應(yīng)用于進(jìn)一步的分析,為分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性提供參考。

1 研究模型

本文主要是將有限元法、基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)的模型確認(rèn)技術(shù)結(jié)合起來(lái),準(zhǔn)確地對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模與分析,而本文主要對(duì)簡(jiǎn)化導(dǎo)彈舵面進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性的研究,探索并驗(yàn)證該方法的可行性與適用性。

根據(jù)實(shí)際導(dǎo)彈的氣動(dòng)外形,為了加工制造方便,將該導(dǎo)彈舵面簡(jiǎn)化為直角梯形,如圖2所示,其上底上底a=0.18m,下底b=0.3m,高h(yuǎn)=0.23m,厚度t=0.005m,材料為鋁,彈性模量E1=70GPa,泊松比μ=0.3,而舵軸材料為剛,彈性模量E2=200GPa,泊松比μ=0.3。

    圖2 簡(jiǎn)化舵面模型

2 理論方法

2.1 有限元模態(tài)分析

有限元模態(tài)分析是利用有限元方法確定結(jié)構(gòu)固有頻率和模態(tài)的一種計(jì)算方法,自由模態(tài)分析的整體有限元方程為

式中M、K分別代表分析模型中的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣,抱歉!圖片加載失敗。（有限元培訓(xùn)學(xué)習(xí)，請(qǐng)到1CAE.com學(xué)習(xí)中心)、u分別代表加速度向量和位移向量。假設(shè)結(jié)構(gòu)做簡(jiǎn)諧振動(dòng),則有

式中φ、ω分別是振型和頻率。將式(1)帶入式(2)可得到特征值方程為

通過(guò)求解上述特征值方程,就可以得到結(jié)構(gòu)的固有頻率和相對(duì)應(yīng)的模態(tài),基于有限元方法的模態(tài)分析方法就是求解結(jié)構(gòu)的固有頻率和相對(duì)應(yīng)的模態(tài),通過(guò)將連續(xù)結(jié)構(gòu)離散化,得到結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量矩陣和剛度陣,利用子空間迭代法、Lanczos法、行列式搜索法等求解結(jié)構(gòu)的特征值。該分析結(jié)果對(duì)實(shí)際工程設(shè)計(jì)有關(guān)參數(shù)的選擇(比如激振頻率、共振現(xiàn)象的避免與利用等)以及進(jìn)一步的動(dòng)力響應(yīng)分析、氣動(dòng)彈性動(dòng)穩(wěn)定性分析等都很重要,主要是由于結(jié)構(gòu)的固有特性能夠反映結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。

    2.2 模型確認(rèn)

2.2.1 相關(guān)性理論

為了分析有限元計(jì)算的模態(tài)或者傳遞函數(shù)與試驗(yàn)測(cè)量的模態(tài)或者傳遞函數(shù)的一致性,可以通過(guò)有限元的數(shù)據(jù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的相關(guān)性來(lái)進(jìn)行分析。對(duì)于有限元模態(tài)與試驗(yàn)?zāi)B(tài)的相關(guān)性,可以表示為如下公式。

式中V_Test,i是第i階試驗(yàn)?zāi)B(tài),V_FE,j是第j階有限元模態(tài),MAC_Test,i,FE,j是第i階試驗(yàn)?zāi)B(tài)V_Test,i與第j階有限元模態(tài)V_FE,j的相關(guān)性值,MAC_Test,i,FE,j介于0~1之間,由于有限元模態(tài)與試驗(yàn)?zāi)B(tài)不可能完全滿足正交性,一般認(rèn)為有限元模態(tài)與試驗(yàn)?zāi)B(tài)滿足的相關(guān)性值MAC>0.8,就可以認(rèn)為有限元模態(tài)與試驗(yàn)?zāi)B(tài)是一致的,如果MAC<0.2,就可以認(rèn)為有限元模態(tài)與試驗(yàn)?zāi)B(tài)是正交的。

2.2.2 靈敏度分析

靈敏度是對(duì)物理參數(shù)的變化率,具體為特征值靈敏度δs/δp和特征矢量靈敏度δψ/δp,其中p代表物理參數(shù)。特征值的一階靈敏度一般需要計(jì)算質(zhì)量、剛度陣對(duì)設(shè)計(jì)參變量p的偏導(dǎo)數(shù),在結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)過(guò)程中,實(shí)際結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為桿、梁、板及殼等單元組成的離散結(jié)構(gòu)模型,此時(shí)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)變量p一般取桿單元的橫截面積;梁?jiǎn)卧臋M截面積或截面慣性矩;板單元的厚度等。也可以取單元的尺寸和材料常數(shù)。

復(fù)雜結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)較多,從結(jié)構(gòu)動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)考慮,必須研究物理參數(shù)對(duì)其動(dòng)態(tài)特性的靈敏度,這樣才能有效地對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力修正。但是對(duì)于整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行物理參數(shù)的靈敏度分析有時(shí)較為復(fù)雜,于是可以只對(duì)部件進(jìn)行靈敏度分析,修正部件的有限元模型,然后利用動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)的方法獲取整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性。

2.2.3 基于參數(shù)的模型修正

基于參數(shù)的模型修正對(duì)象主要是表征結(jié)構(gòu)特性的物理參數(shù)或幾何參數(shù),即設(shè)計(jì)變量,比如材料彈性模量、密度,桿、梁的橫截面積,板、殼的厚度等。一般,修正的目的是使計(jì)算與試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果(如固有頻率、振型)的誤差最小化。

設(shè)設(shè)計(jì)變量為p,結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度陣M(p),K(p)為其函數(shù),其自由振動(dòng)的廣義特征值方程為

    通過(guò)求解該特征值方程,可以獲得其固有振動(dòng)的固有頻率和模態(tài)。而第k階特征值ω²_k(p)(或固有頻率) f_k(p)=ω_k(p)/(2/π)和模態(tài)φ_k(p)亦為p的函數(shù)。

設(shè)實(shí)驗(yàn)測(cè)量的固有頻率為,假如僅考慮固有頻率,則固有頻率的計(jì)算值f_k(p)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差(目標(biāo)函數(shù))定義為

是,基于參數(shù)的模型修正可歸為非線性規(guī)劃問(wèn)題

式中p_U,p_L分別是p的上下限;w_k為加權(quán)系數(shù)。為了方便計(jì)算,也可以用平方和代替式(6)中的最大絕對(duì)值。一般,式(7)還需要補(bǔ)充強(qiáng)度和剛度條件等約束條件。

對(duì)于求解(7)數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題的方法有直接法和間接法等多種方法。其中的直接法包括經(jīng)典的最速下降法、擬牛頓法、復(fù)合形法,以及現(xiàn)在常用的遺傳算法、模擬退火法等。而當(dāng)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)重頻時(shí),而靈敏度就需要作特殊處理。

3 計(jì)算結(jié)果與分析

3.1 舵面模態(tài)試驗(yàn)

對(duì)于該簡(jiǎn)化導(dǎo)彈舵面模型的模態(tài)試驗(yàn)激勵(lì)方法主要采用力錘法。數(shù)據(jù)采集方面主要是利用LMS的SCADAS Ⅲ模態(tài)分析設(shè)備和PCB加速度傳感器;測(cè)試軟件則采用LMS Test.Lab 8B中的Structures Acquisition模塊中的Impact Testing,用于錘擊法試驗(yàn)?zāi)B(tài)的采集與分析。

為了獲得舵面模態(tài)信息,以及通過(guò)試驗(yàn)后,對(duì)有限元模型進(jìn)行修正,于是在舵面上布置了14個(gè)測(cè)點(diǎn),并在固定夾具位置布置一個(gè)參考測(cè)點(diǎn),總共15個(gè)測(cè)點(diǎn),如圖3所示,分別對(duì)4點(diǎn)和14點(diǎn)進(jìn)行錘擊,所以4點(diǎn)和14點(diǎn)的傳感器布置在Z軸正向,測(cè)量Z向的振動(dòng)。對(duì)于顫振分析,一般只需要舵面的一階彎曲頻率和一階扭轉(zhuǎn)頻率。于是本文中取試驗(yàn)測(cè)得的舵面的前2階固有頻率,如表1所示;前2階模態(tài)圖如圖4所示,其MAC圖如圖5所示。

    圖3 舵面模態(tài)試驗(yàn)

    表1 舵面前2階固有頻率

    圖4 舵面前2階模態(tài)圖

    圖5 試驗(yàn)的MAC圖

通過(guò)對(duì)不同激勵(lì)點(diǎn)激勵(lì)所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn),其固有頻率相差很小,但是通過(guò)觀察LMS軟件分析所獲得的模態(tài)圖和頻響函數(shù)發(fā)現(xiàn),對(duì)于錘擊14點(diǎn)所得到的結(jié)果更接近實(shí)際情況,于是選擇改組數(shù)據(jù)作為后續(xù)的計(jì)算。

3.2 舵面模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果與有限元分析對(duì)比

通過(guò)對(duì)該舵面進(jìn)行有限元建模,然后進(jìn)行模態(tài)分析,一彎和一扭模態(tài)圖如圖6所示,將所得的分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,對(duì)比結(jié)果如表2所示。如圖7所示,是計(jì)算有限元與試驗(yàn)的MAC值,前2階的MAC值都大于0.9,說(shuō)明有限元建模分析與試驗(yàn)分析的相關(guān)性較好,但是由于頻率誤差較大,需要對(duì)有限元模型進(jìn)行修正。

    圖6 舵面前2階模態(tài)圖

    表2 舵面前2階頻率對(duì)比和MAC值

    圖7 有限元分析與試驗(yàn)分析的MAC值

通過(guò)試驗(yàn)分析結(jié)果與有限元分析結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn),在第1階誤差相對(duì)較小,但是第2階頻率相差較大,這對(duì)于顫振分析有很大的影響,于是需要對(duì)有限元模型進(jìn)行修正,然后再利用修正后的模型才能進(jìn)行下一步分析。

3.3 舵面模型確認(rèn)

3.3.1 靈敏度計(jì)算

由于有限元模型在舵面、舵軸等幾何尺寸都與實(shí)際試驗(yàn)件一樣,于是不需要修改這些幾何尺寸,因而不對(duì)這些尺寸進(jìn)行靈敏度分析。由于該舵面結(jié)構(gòu)相對(duì)較簡(jiǎn)單,設(shè)計(jì)變量相對(duì)較少,而且受到試驗(yàn)條件的限制,無(wú)法測(cè)量試驗(yàn)件的彈性模量,試驗(yàn)件中的螺栓連接在有限元模型中是利用的彈簧單元模擬的。因此本文中主要選擇這兩個(gè)參數(shù)對(duì)其進(jìn)行靈敏度分析,即這些參數(shù)變化對(duì)固有頻率的影響。其分析的模態(tài)頻率對(duì)舵軸彈性模量和相關(guān)性MAC值對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度值如圖8所示。

    圖8 模態(tài)頻率和相關(guān)性MAC對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度值

通過(guò)靈敏度計(jì)算可以發(fā)現(xiàn),在一定范圍內(nèi),模擬彈簧的剛度值變化主要影響舵面的彎曲頻率,而舵軸的彈性模量則影響彎曲頻率和扭轉(zhuǎn)頻率。于是需要對(duì)這兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行修正,使得有限元模型所計(jì)算的頻率與試驗(yàn)測(cè)量的固有頻率的誤差達(dá)到最小值。