搜索非線性振動(dòng)系統(tǒng)方程解的若干物理解釋
2017-07-03 by:CAE仿真在線 來源:互聯(lián)網(wǎng)
非線性方程式的解與線性方程式的解在物理方面有本質(zhì)的區(qū)別, 主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:
杜芬方程,即恢復(fù)力含有位移的三次方項(xiàng)的非線性方程,其固有頻率的近似值為:
對(duì)于分段線性的非線性系統(tǒng),其固有頻率為:
或
從上面兩個(gè)式子可看出, 對(duì)于裝有硬彈簧的硬式非線性振動(dòng)系統(tǒng),固有頻ω隨振幅A的增大而增加; 而對(duì)于裝有軟彈簧的軟式非線性系統(tǒng),固有頻率隨振幅A的增大而減小。圖1表示固有頻率與振幅的關(guān)系曲線。曲線1所示的是固有頻率ω隨振幅的增大而增加; 曲線2所示的是固有頻率隨振幅的增大而減小; 而直線3是線性振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率,它是一個(gè)常量, 不隨振幅的變化而變化。
圖1 固有頻率與振幅的關(guān)系曲線
假如對(duì)某振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行振幅逐漸減小的衰減試驗(yàn),測(cè)出其振動(dòng)位移與時(shí)間的關(guān)系曲線,若當(dāng)振幅減小時(shí),振動(dòng)周期T隨振幅的減小而減小,則為硬式非線性系統(tǒng);若振動(dòng)周期隨振幅的減小而增大,則為軟式非線性系統(tǒng);若振動(dòng)周期不隨振幅大小而變化則為線性振動(dòng)系統(tǒng)。如圖2所示,左圖為硬式非線性振動(dòng)系統(tǒng)的試曲線,而右圖為軟式非線性的振動(dòng)曲線。
圖2 試驗(yàn)得出的振動(dòng)曲線
非線性振動(dòng)系統(tǒng)的共振曲線,即振幅與頻率關(guān)系曲線(幅頻曲線)和相位與頻率的關(guān)系曲線(相頻曲線)和線性振動(dòng)系統(tǒng)有本質(zhì)的區(qū)別。圖3中的a,b和c分別示出 在簡諧干擾力作用下硬式和軟式非線性系統(tǒng)的幅頻曲線及相頻曲線。
圖3 非線性振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻曲線與相頻曲線
a.) 幅頻曲線; b ) 相頻曲線
對(duì)于杜芬方程所示的非線性系統(tǒng), 其一次近似解可由下式所示。
對(duì)于分段線性的非線性振動(dòng)系統(tǒng),其一次近似解可表示為:
如果阻力系數(shù)c很小,相位差角:
此時(shí)上式成為:
按照上式,可畫出f(e/A)與e/A的關(guān)系曲線,當(dāng)f(e/A)=0時(shí),可求出上述代數(shù)方程的解。
由圖3a看出,共振曲線的頭部向右傾斜,此曲線為硬式非線性系統(tǒng)的共振曲線;圖3b所示的共振曲線的頭部向左傾斜,此曲線為軟式非線性系統(tǒng)的共振曲線。
3. 強(qiáng)迫非線性振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)有滯后與跳躍現(xiàn)象對(duì)于非線性系統(tǒng), 如果我們使激振力幅保持不變,而緩慢地增加激振頻率, 振動(dòng)系統(tǒng)的振幅將沿著圖4箭頭所示的方向逐漸增大,當(dāng)增加至最大值時(shí),將會(huì)出現(xiàn)降幅跳躍,接著振幅將逐漸減小。
反之,逐漸減小振動(dòng)頻率,振幅將漸漸增大,增至某一點(diǎn)之后,又會(huì)出現(xiàn)增幅跳躍,此后,振幅將逐漸減小。
這種跳躍現(xiàn)象在線性振動(dòng)系統(tǒng)中是不可能出現(xiàn)的。
由圖4看出,返回過程的跳躍總是落后于前進(jìn)過程的跳躍。這種現(xiàn)象,我們稱它為滯后現(xiàn)象,這種滯后現(xiàn)象在線性振動(dòng)系統(tǒng)中也是不會(huì)出現(xiàn)的。
圖4 強(qiáng)迫非線性振動(dòng)系統(tǒng)出現(xiàn)的跳躍現(xiàn)象和滯后現(xiàn)象
a) 硬式非線性振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻曲線;b) 軟式非線性振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻曲線;c) 非線性振動(dòng)系統(tǒng)的相頻曲線
4. 共振曲線有穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū)段在簡諧干擾力作用下的非線性振動(dòng)系統(tǒng),共振曲線中有穩(wěn)定區(qū)與不穩(wěn)定區(qū)。共振曲線上的兩次跳躍之間的線段是不穩(wěn)定的,而其它部分的線段是穩(wěn)定的。對(duì)于線性振動(dòng)系統(tǒng),當(dāng)阻尼為正時(shí),振動(dòng)通常是穩(wěn)定的。當(dāng)阻尼為零時(shí),僅在共振條件下振動(dòng)是不穩(wěn)定的。
圖5 非線性振動(dòng)系統(tǒng)共振曲線上的穩(wěn)定區(qū)與不穩(wěn)定區(qū)
在簡諧激振力作用下的非線性系統(tǒng),其強(qiáng)迫振動(dòng)不一定是簡諧振動(dòng),其響應(yīng)的波形通常由各次諧波組成,這些波形除了與激振力頻率相同的諧波外,還含有頻率為激振頻率Ω的幾分之一,即頻率Ω/n為的次諧波響應(yīng)及頻率為激振頻率Ω的整數(shù)倍,即頻率mΩ為的超諧波響應(yīng)(n,m為正整數(shù))。
次諧波振動(dòng)和超諧波振動(dòng)在性質(zhì)上有兩點(diǎn)不同,即
-
超諧波響應(yīng)在一般的非線性系統(tǒng)中或多或少是存在的,而次諧波響應(yīng)則只在一定條件下才產(chǎn)生。
-
當(dāng)系統(tǒng)中存在阻尼時(shí),阻尼只影響超諧波振動(dòng)的振幅,但對(duì)于次諧波振動(dòng),只要阻尼大于某一定值,就會(huì)阻止次諧波振動(dòng)的出現(xiàn)。
由于存在次諧波與超諧波振動(dòng),非線性系統(tǒng)共振頻率的數(shù)目將多于系統(tǒng)的自由度。
當(dāng)激振頻率接近于系統(tǒng)固有頻率的整數(shù)倍,例如等于固有頻率的3倍時(shí),該系統(tǒng)將出現(xiàn)振幅較大的而頻率等于固有頻率的次諧波共振;而當(dāng)激振頻率接近系統(tǒng)固有頻率的幾分之一,例如三分之一時(shí),則該系統(tǒng)將出現(xiàn)振幅較大的其頻率等于固有頻率的超諧波共振。
圖6 非線性振動(dòng)系統(tǒng)的次諧波振動(dòng)與超諧波振動(dòng)
作為例子,某系統(tǒng)作用有兩個(gè)激振力為F1cosΩ1t和F2cosΩ2t,則該系統(tǒng)不僅會(huì)出現(xiàn)頻率為Ω1,Ω2,2Ω1,2Ω2,3Ω1,3Ω2,···,而且會(huì)出現(xiàn)頻率等于兩個(gè)激振頻率之和或之差的組合頻率的振動(dòng),即
例如:|Ω1±Ω2|,|2Ω1±Ω2|,|Ω1±2Ω2|等。
在某些情況下,組合頻率的振動(dòng)較其它頻率的振動(dòng)要多得多,現(xiàn)在我們舉例說明組合頻率振動(dòng)的產(chǎn)生過程。
假設(shè)某一非線性振動(dòng)系統(tǒng)作用有兩個(gè)頻率的激振力,其運(yùn)動(dòng)微分方程式如下:
方程的一次近似解為:
代入以上方程:
我們可以利用以下三角函數(shù)表示上式的右邊部分
將這些項(xiàng)代入前式,我們可以求出含有以下各種頻率的振動(dòng)響應(yīng), 除了Ω1和Ω2外,還有高次諧波3Ω1t和3Ω2,以及組合頻率2Ω1+Ω2,2Ω2+Ω1,|2Ω1-Ω2|和|2Ω2-Ω1|。
下面舉例說明,若
按照前面的公式,會(huì)出現(xiàn)以下各種頻率的振動(dòng):
20,80,100,120,140,220,300,320,340和360 1/sec。
7. 非線性振動(dòng)系統(tǒng)疊加原理是不適用的在求解線性振動(dòng)問題時(shí),我們普遍采用疊加原理, 但對(duì)于非線性振動(dòng)系統(tǒng),不能應(yīng)用疊加原理。如有以下線性方程:
可將上面的方程分解成以下兩個(gè)方程:
原方程的解x(t)是由上面兩個(gè)方程的解x1(t)和x2(t)疊加而成即:
對(duì)于線性微分方程式,以下的疊加是成立的。
如果方程不是線性的,而是非線性方程,由于高次項(xiàng)存在,因此疊加原理是不適用的,即出現(xiàn)了以下不等式
如果在非線性系統(tǒng)中應(yīng)用疊加原理,所得結(jié)果就會(huì)和實(shí)際的結(jié)果出現(xiàn)較大的差異,而其結(jié)果往往是錯(cuò)誤的。
8. 存在頻率俘獲現(xiàn)象在線性振動(dòng)系統(tǒng)中,如果同時(shí)存在頻率為Ω和ω0兩個(gè)簡諧振動(dòng),則當(dāng)這兩個(gè)頻率比較接近時(shí),會(huì)產(chǎn)生拍振。兩個(gè)頻率相差越小,拍振周期越大。當(dāng)兩個(gè)頻率相等時(shí),拍振才消失,兩個(gè)振動(dòng)就合成為一個(gè)簡諧振動(dòng)。
在非線性振動(dòng)系統(tǒng)中,則并不如此。例如,自激振動(dòng)系統(tǒng)以頻率ω0自振時(shí),若受到頻率為Ω的,且和ω0相接近的激振力的作用,則只出現(xiàn)一個(gè)頻率的振動(dòng),即頻率ω0和Ω進(jìn)入同步,這一現(xiàn)象稱為“頻率俘獲”。能產(chǎn)生頻率俘獲現(xiàn)象的頻帶,稱為頻率俘獲區(qū)域。
在工程中已得到廣泛應(yīng)用的由兩臺(tái)感應(yīng)電機(jī)分別驅(qū)動(dòng)的激振器激勵(lì)的自同步振動(dòng)機(jī),就是利用頻率俘獲原理而進(jìn)行工作的。
圖6示出Ω和|Ω-ω0|的關(guān)系。對(duì)于線性系統(tǒng), 此二個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系是:只當(dāng)Ω=ω0時(shí),|Ω-ω0|才等于零。對(duì)于非線性系統(tǒng),例如對(duì)自激振動(dòng)系統(tǒng),當(dāng)|Ω-ω0|小于某一定值時(shí), 頻率Ω和ω0將吻合而出現(xiàn)頻率俘獲現(xiàn)象。圖中的Δω為頻率俘獲區(qū)。
在工程中, 頻率俘獲現(xiàn)象已得到廣泛的應(yīng)用, 由兩臺(tái)感應(yīng)電動(dòng)機(jī)分別驅(qū)動(dòng)的并裝于同一振動(dòng)系統(tǒng)中的兩個(gè)偏心轉(zhuǎn)子激振器, 就是利用這一原理而進(jìn)行工作的。目前在工業(yè)部門中應(yīng)用的數(shù)以萬計(jì)的自同步振動(dòng)機(jī)基于這一原理。圖7表示了雙激振電機(jī)(轉(zhuǎn)軸上帶有偏心塊的電動(dòng)機(jī),作激振器使用)驅(qū)動(dòng)的振動(dòng)機(jī)的示意圖。試驗(yàn)曾指出, 當(dāng)兩臺(tái)激振電動(dòng)機(jī)單獨(dú)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí),其轉(zhuǎn)數(shù)分別為962轉(zhuǎn)/分和940轉(zhuǎn)/分,而當(dāng)同時(shí)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí),其轉(zhuǎn)數(shù)同為950轉(zhuǎn)/分,這就是所謂的頻率俘獲。
圖7 |Ω-ω0|和Ω的關(guān)系
圖8 由兩臺(tái)振動(dòng)電機(jī)驅(qū)動(dòng)的自同步振動(dòng)機(jī)的工作原理圖
在線性系統(tǒng)中自由振動(dòng)總是衰減的,嚴(yán)格的周期運(yùn)動(dòng)只可能在周期干擾力的作用下產(chǎn)生的強(qiáng)迫振動(dòng)。而在非線性振動(dòng)系統(tǒng)中, 即使存在阻尼,也可能是周期運(yùn)動(dòng)。能量的損失可以由輸入該系統(tǒng)的能量得到補(bǔ)償,輸入能量的時(shí)間和大小由振動(dòng)系統(tǒng)本身進(jìn)行調(diào)節(jié),這就是自激振動(dòng)。
10. 某些非性系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)混沌的發(fā)現(xiàn)是20世紀(jì)科學(xué)技術(shù)的偉大成就之一,繼相對(duì)論和量子力學(xué)之后的又一重大發(fā)現(xiàn)?；煦鐚W(xué)的出現(xiàn)是現(xiàn)代科學(xué)與技術(shù),特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展。非線性振動(dòng)系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)?；煦绗F(xiàn)象對(duì)于研究轉(zhuǎn)子故障或利用混沌作為轉(zhuǎn)子故障的一種診斷手段, 這是具有實(shí)際價(jià)值的。
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來源:節(jié)選自《工程非線性振動(dòng)》 作者:聞邦椿
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