搜索這是一個非線性的世界（Nonlinear World）
2017-03-23 by:CAE仿真在線 來源:互聯(lián)網(wǎng)
線形(linear)和非線性(nonlinear)分析是有限元分析中兩大“雙塔”,線形問題總是我們所擅長或者樂意研究的,因為其夠簡單,分析成本低。但本質(zhì)上說,這個世界主要還是非線性居多,線形總隱含著小變形、小應(yīng)變、小的旋轉(zhuǎn)、小的溫度變化等等前提條件,但即使是“小”,也不會是數(shù)學(xué)上嚴(yán)格意義的真正線性,不會是一條完美的直線。不過你也不必驚慌,雖然不是完美的線形,但我們并不需要那么完美同樣可以在“小”的前提下得到較為精確的結(jié)果,所以很多工程師都樂意把問題簡化為線形分析。
一旦我們進(jìn)入非線性的世界,那么我們將踏上“未知”的旅程。下圖展現(xiàn)了一個典型的非線性的歷程。橫坐標(biāo)為位移,縱坐標(biāo)為載荷,在非線性計算中,載荷的施加也是離散疊加的,如圖中所示我們先施加10%的載荷(實際情況中沒這么大,往往很小如0.1%),第一個線形逼近(有限元分析是數(shù)值算法,是多項式的線形逼近過程)沒有收斂(沒達(dá)到指定的收斂閾值),程序要繼續(xù)尋找收斂點,經(jīng)過幾次逼近后才能找到收斂點,這才完成第一次的載荷收斂,下一步再增加10%的載荷,這個逼近過程也是類似的,直到完成100%的載荷加載。
這個過程是非常耗費成本的,因為每一步都需要對剛度矩陣(stiffness matrix)進(jìn)行迭代,而一般線形分析只需要一個剛度矩陣即可,也就是說,如這個例子迭代十次的工作量(理想化的時間,成本)相當(dāng)于線形分析的10倍,實際情況往往更多。
有些時候,我們不得不接受非線性,這一節(jié)我們主要討論常見的幾種非線性:
-
幾何非線性(geometic nonlinaerity)
-
材料非線性(material nonlinearity)
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接觸非線性(contact nonlinearity)
1.幾何非線性(geometic nonlinaerity)
幾何非線性有時候又被叫做大變形分析(large displacement,但有些人并不同意這樣叫,因為多大才算大變形呢并沒有一個定量的約定),因為幾何非線性往往涉及到大的位移,大的應(yīng)變等等。
下面我們通過一個理論實例來說明幾何非線性。如下圖所示,一個桿件一端安裝在鉸鏈上,鉸鏈上安裝有扭簧(torsional spring)抵抗變形,桿件另一端施加有向上的一定大小的力F。我們來看看桿件旋轉(zhuǎn)角度
θ{\displaystyle \theta }
作用力對桿件端部產(chǎn)生的彎矩為:
-
M=Flcos?θ{\displaystyle M=F~l~\cos \theta }
扭簧產(chǎn)生的扭矩為:
-
M=kTθ{\displaystyle M=k_{T}~\theta }
,
為扭簧系數(shù)
kT{\displaystyle k_{T}}聯(lián)立上面兩式有:
F=kTθlcos?θ(nonlinear inθ).{\displaystyle {F={\cfrac {k_{T}~\theta }{l~\cos \theta }}\qquad ({\text{nonlinear in}}~\theta )~.}}
此時,很明顯F和
θ{\displaystyle \theta }
如果旋轉(zhuǎn)角度θ{\displaystyle \theta }很小,比如
θ{\displaystyle \theta }
此時F和
θ{\displaystyle \theta }
呈線形關(guān)系。
如果我們一開始就把問題簡化為線形,那么如下圖所示,線形結(jié)果和正確的非線性就有非常大的偏差,從圖中可以看出,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度大于30°時,兩種分析結(jié)果就分道揚鑣了。
幾何非線性在工程中非常常見。比如屈曲過程(buckling)就伴隨著幾何非線性,如下圖所示。
又比如一根梁兩端約束的不同,受力情況也不同。如下圖所示,一種情況是簡支梁一端約束,另一端可以軸向活動;另一種情況是兩段都受到約束。當(dāng)施加垂直方向的載荷時,如果運用線形分析,那么結(jié)果沒太大差比;當(dāng)考慮非線性(幾何非線性)時,結(jié)果將非常不同。
當(dāng)考慮幾何非線性時,簡支梁的位移情況:
2.材料非線性(material nonlinearity)
材料非線性應(yīng)該是我們最熟悉的,在材料力學(xué)中主要講的就是材料的非線性。當(dāng)材料通過線形區(qū)域的屈服點(yield point)時,非線性的塑性(plastic)變形開始接管材料的變形形式,此時應(yīng)力-應(yīng)變將不再符合線形關(guān)系,
非線性分析中,步長大小的設(shè)定對非線性分析有很大的影響,過大的步長、高度非線性的事件或者接觸條件的巨大改變,以及涉及到碰撞、斷裂和高度屈曲的情況,求解器就需要長時間尋找到收斂的平衡點,有時候甚至找不到。但為了簡化,對材料非線性來說,有些時候,在進(jìn)入塑形變形后,我們同樣可以進(jìn)行線形簡化。如下圖所示,塑形階段應(yīng)力-應(yīng)變的變化還是近似符合線形的,我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^線形擬合來進(jìn)行替代,或者我們可以通過輸入來自excel的數(shù)據(jù)來進(jìn)行更精確的擬合。
同樣我們可以用上面幾何非線性的例子來說明材料非線性,在上面的計算中,我們是假定扭簧在旋轉(zhuǎn)過程中材料屬性是不會有變化的,但實際上隨著紐簧的旋轉(zhuǎn)會不斷硬化,材料屬性多少會有些變化(但很小)。為了說明材料非線性,我們假定扭簧系數(shù)Kt和角度成函數(shù)關(guān)系:
kt=k0+k1
此時有扭簧的扭矩為:
外部彎矩不變,此時可得:
可以看出,此時公式既包含材料的非線性,也包含幾何非線性。
同樣的,如果旋轉(zhuǎn)角度很小,此時有:
F=(k0+k1θ)θl(only material nonlinearity).{\displaystyle {F={\cfrac {(k_{0}+k_{1}~\theta )~\theta }{l}}\qquad ({\text{only material nonlinearity}})~.}
此時公式只包含材料非線性
下圖綜合繪制了幾何+材料非線性、材料非線性、幾何非線性和線性4種不同條件下力和角度的關(guān)系。
3.接觸非線性(contact nonlinearity)
接觸非線性顧名思義就是當(dāng)兩個對象發(fā)生接觸時的現(xiàn)象,接觸非線性和幾何非線性類似,因為也是關(guān)于位移(變形)的函數(shù),所以有些介紹中也把其歸為幾何非線性之中。
接觸非線性的計算公式比較多,不同的接觸類型適用于不同的公式,但在有限元分析時,一般都會引入“懲罰因子”(Penality Factor)這個物理量,以后我們會詳細(xì)講到。
下面列舉了一些常見的非線性接觸的例子:
卡扣的安裝過程
球狀體裝入夾持件的過程
輪胎和地面接觸的過程
球狀體和平面接觸
尖銳物與面接觸的過程
非線性分析(nonlinear analysis)是有限元分析中非常重要的一個大類,我們以后會通過實例重點關(guān)注和講解。
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