非線性動(dòng)力學(xué)發(fā)展歷史概述

2017-02-27 by:CAE仿真在線來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)

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作者:陳立群,力學(xué)系教授,上海大學(xué)“長(zhǎng)江學(xué)者”特聘教授,長(zhǎng)期從事動(dòng)力學(xué)、振動(dòng)和控制的研究,提出了內(nèi)共振能量采集、整星非線性吸振器等新思路,發(fā)現(xiàn)了內(nèi)共振中雙跳躍演化的新現(xiàn)象,并發(fā)展了陀螺連續(xù)體攝動(dòng)分析、混沌參賽開(kāi)閉環(huán)控制等新方法。所發(fā)表論文被SCI收錄150余篇,SCI檢索他人引用2000余次。

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人們對(duì)非線性問(wèn)題的認(rèn)識(shí)至少可以上溯到1673年C. Huygens對(duì)擺的研究,他觀察到單擺大幅擺動(dòng)對(duì)等時(shí)性的偏離以及兩只頻率接近時(shí)鐘的同步化兩類非線性現(xiàn)象。1687年I. Newton發(fā)表的運(yùn)動(dòng)定律表明動(dòng)力學(xué)問(wèn)題本質(zhì)上是非線性的。但直到上世紀(jì)30年代才有非線性力學(xué)這一名稱,內(nèi)容是經(jīng)典的非線性振動(dòng)理論。

而非線性動(dòng)力學(xué)這個(gè)名稱在70年代中后期才逐漸使用,以概括對(duì)混沌、分岔和分形問(wèn)題的研究?；煦绲臍v史已有大量研究,但分岔的歷史發(fā)展較少涉及。本文擬概述非線性動(dòng)力學(xué)的歷史發(fā)展,依據(jù)史料除個(gè)別原始文獻(xiàn)外,主要取自部分重要論文的結(jié)集和專著。

1. Poincare的奠基性工作和對(duì)非線性現(xiàn)象的早期認(rèn)識(shí)

上世紀(jì)末H. Poincare的工作為非線性動(dòng)力學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。Poincare開(kāi)創(chuàng)了動(dòng)力學(xué)問(wèn)題研究的一個(gè)全新方向:定性理論。在1881年至1886年的一系列論文中,他討論了二階系統(tǒng)奇點(diǎn)的分類,引入了極限環(huán)概念并建立了極限環(huán)的存在判據(jù),定義了奇點(diǎn)和極限環(huán)的指數(shù)。

在此之前的1879年,他建立了分岔研究中其重要作用的范式理論的雛形。1885年他研究了分岔問(wèn)題。1890年他證明了不可積系統(tǒng)的存在。1892年他論證了攝動(dòng)法的合理性,為促進(jìn)了非線性系統(tǒng)近似解析方法的研究。1894年他發(fā)現(xiàn)了伴隨橫截同宿點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。1905年他明確地闡明了對(duì)初值敏感依賴而導(dǎo)致的不可預(yù)測(cè)性。

上世紀(jì)20年代以來(lái)非線性振動(dòng)的研究使得對(duì)非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的本質(zhì)差別已有所認(rèn)識(shí)。1918年G. Duffing和1926年van der Pol對(duì)典型非線性振動(dòng)系統(tǒng)的研究揭示了次諧振動(dòng)、自激振動(dòng)等非系統(tǒng)系統(tǒng)的特性。1929年А. А. Андронов將Poincare的極限環(huán)概念與自激振動(dòng)建立了聯(lián)系,他隨后對(duì)平面動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的定性特征進(jìn)行了全面的研究。在20,30年代,Н. М. Крылов,Н. Н. Боголюбов和Ю. А. Митропольский等發(fā)展了非線性系統(tǒng)近似解析方法。

2. 混沌的研究

對(duì)混沌現(xiàn)象的廣泛研究促使非線性動(dòng)力學(xué)迅速發(fā)展。就不可預(yù)測(cè)性的物理概念而言,1955年M. Born和1964年L. Brillouin分別闡發(fā)Poincare的思想而指出經(jīng)典動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中存在產(chǎn)生于不穩(wěn)定性的不確定性。就非周期性的數(shù)學(xué)描述而言,1921年H. M. Morse引進(jìn)了符號(hào)動(dòng)力學(xué)方法,1963年S. Smale構(gòu)造了馬蹄映射。近可積保守系統(tǒng)的非周期性運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生機(jī)制由А. Н. Колмогоров 在1954年所揭示,他的結(jié)論后來(lái)由В .И .Арнольд和J. Moser嚴(yán)格證明而稱為KAM定理。

計(jì)算機(jī)的發(fā)展為混沌研究提供新的手段。一系列重要的數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了混沌的存在,包括1963年E. N. Lorenz的簡(jiǎn)化熱對(duì)流模型、1964年M. Henon和C. Heiles的2自由度保守系統(tǒng)模型、1973年上田和林千博的受迫非線性振動(dòng)模型以及1976年M. Henon的存在奇怪吸引子的2維映射模型。

奇怪吸引子的概念是1971年D. Ruelle和F. Takens提出的。1975年李天巖和J. A. Yorke嘗試對(duì)區(qū)間映射給出混沌的數(shù)學(xué)定義。1976年R. M. May對(duì)1維映射中復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的研究使得混沌受到普遍關(guān)注。70年代后期,混沌與分岔和分形相交融,使得非線性動(dòng)力學(xué)的研究工作更加深入和廣泛。

3. 分岔的研究

上世紀(jì)70年代原來(lái)獨(dú)立發(fā)展的分岔理論匯入非線性動(dòng)力學(xué)主流之中。分岔現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)可以上溯到1729年P(guān). Musschenbrock對(duì)壓桿失穩(wěn)實(shí)驗(yàn)的觀察,1744年L. Euler從撓曲線角度進(jìn)行了理論分析。固體力學(xué)中將這類分岔稱為屈曲。1877年Lord Rayliegh開(kāi)始發(fā)展分岔的數(shù)學(xué)理論,并在1883年利用系統(tǒng)參數(shù)的分岔成功地解釋了1831年Faraday和1868年Matthiessen關(guān)于振動(dòng)流體實(shí)驗(yàn)的不同結(jié)果。1883年O. Reynolds發(fā)現(xiàn)在臨界數(shù)時(shí)層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯默F(xiàn)象,這種運(yùn)動(dòng)分岔在流體力學(xué)中稱為轉(zhuǎn)捩。

1885年P(guān)oincare的工作標(biāo)志分岔理論的創(chuàng)立。1938年Андронов 和Л. С. Понтрягин 建立了分岔和動(dòng)態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的關(guān)系。作為數(shù)學(xué)分支,分岔理論在60年代已基本形成。1972年R. Thom宣傳的突變理論曾使得分岔理論中的奇異性方法受到廣泛注意。1971年Rulle和Takens提出環(huán)面分岔進(jìn)入混沌,到1982年這種進(jìn)入混沌的途徑基本清楚。1978年F. J. Feigenbaum發(fā)現(xiàn)了倍周期分岔進(jìn)入混沌途徑的普適規(guī)律。1980年Y. Pomeou和P. Manneville發(fā)現(xiàn)了伴隨鞍結(jié)分岔的陣發(fā)性進(jìn)入混沌的途徑。這些工作建立了分岔和混沌的聯(lián)系。

4. 非線性動(dòng)力學(xué)中分形的研究

上世紀(jì)70年代開(kāi)創(chuàng)的分形幾何對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)的深入和普及都起了重要作用。1880年P(guān)oincare和F. Klein關(guān)于自反演的工作已涉及分形的若干方面。1875年G. Cantor構(gòu)造的集合(事實(shí)上,由Smith于1875年首先發(fā)明)和1904年H. Von Koch設(shè)計(jì)的曲線是分形的典型例子。1918年F. Hausdorff定義了維數(shù),它不必局限為整數(shù)。

上世紀(jì)20年代,P. Fatou和G. Julia Fatou和Julia在復(fù)變映射的研究中對(duì)揭示分形現(xiàn)象作出重要貢獻(xiàn)。1975年B. B. Mandelbrot開(kāi)創(chuàng)了分形幾何以處理具有自相似性和無(wú)標(biāo)度性的破碎幾何形體,80年代以后引起公眾對(duì)非線性現(xiàn)象尤其是分形的極大熱情。80年代初分形被E. Ott, D. Farmer, P. Grassberger, I. Procaccia等眾多研究者用以刻劃混沌運(yùn)動(dòng)在相空間中對(duì)應(yīng)的奇怪吸引子。80年代中、后期,S. W. McDonald , C. Grebogi , E. Ott , J. A. Yorke等用分形描述多吸引子系統(tǒng)吸引盆的邊界,并提出了不同于混沌的初值敏感性的終態(tài)敏感性概念。分形的概念也在繼續(xù)發(fā)展。多重分形和胖分形概念都應(yīng)用于動(dòng)力學(xué)。

5. 結(jié)束語(yǔ)

從歷史發(fā)展看,對(duì)非線性現(xiàn)象的研究需要多個(gè)學(xué)科的交叉。純粹和應(yīng)用數(shù)學(xué)理論如動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論、奇異性理論、攝動(dòng)理論等,理論和實(shí)驗(yàn)力學(xué)概念和方法如工程現(xiàn)象的力學(xué)建模、應(yīng)用力學(xué)規(guī)律解釋動(dòng)力學(xué)行為、固體和流體系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)研究等,以及電子計(jì)算機(jī)的數(shù)值和符號(hào)運(yùn)算,均為分析非線性問(wèn)題的重要工具。在多學(xué)科交叉的基礎(chǔ)上,形成了非線性動(dòng)力學(xué)這一新的分支學(xué)科。

隨著對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)研究的深入,機(jī)遇、因果、決定論等人類認(rèn)識(shí)自然的基本概念和范疇需要重新認(rèn)識(shí)。非線性動(dòng)力學(xué)的研究導(dǎo)致了一種新的實(shí)驗(yàn)方式,數(shù)值實(shí)驗(yàn)的產(chǎn)生和廣泛應(yīng)用。非線性動(dòng)力學(xué)的研究也促進(jìn)了數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)中相關(guān)學(xué)科的發(fā)展,同時(shí)也日益在工程技術(shù)、生物醫(yī)學(xué)和社會(huì)科學(xué)中顯示出廣闊的應(yīng)用前景。

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