動(dòng)力學(xué)問(wèn)題分析：華山論劍之顯隱式動(dòng)力學(xué)分析

2017-02-27 by:CAE仿真在線來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)

如若將有限元法處理動(dòng)力學(xué)問(wèn)題比作武林之華山,以Newmark法居尊的隱式派與以中心差分法為長(zhǎng)的顯式派近年來(lái)各自閉關(guān)修行,越發(fā)爐火純青,劍指對(duì)方,咄咄逼人,以致勢(shì)同水火。高手過(guò)招難免令各位看官眼花繚亂,且聽(tīng)老夫?yàn)槟慵?xì)細(xì)道來(lái),自成一言,言多休怪。

如今這兩派在有限元處理動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的方面已牢牢站穩(wěn)腳跟,正如北少林,南武當(dāng),除此之外誰(shuí)敢王。

典宗

武林講究尋源溯宗,且看二者身出東方還是天外飛仙。

在求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí),將方程在空間上采用有限元法(或其他方法)進(jìn)行離散后,變?yōu)槌Ｎ⒎址匠探MF=M(u)+C(u)+K(u)。求解這種方程的其中兩種方法為,中心差分法和Newmark法。采用中心差分法解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題被稱為顯式算法,采用Newmark法解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題被稱為隱式算法。

隱式求解咬定[K]*{A}={F}青山不放松,需要求解非線性方程組,通過(guò)迭代方法獲得近似解。動(dòng)態(tài)問(wèn)題涉及到時(shí)間域的數(shù)值積分方法問(wèn)題,在上世紀(jì)80年代中期以前,人們基本上采用Newmark法進(jìn)行時(shí)間域的積分。在紐曼法中任一時(shí)刻的位移、速度、加速度都相互關(guān)聯(lián),這就使得運(yùn)動(dòng)方程的求解變成一系列相互關(guān)聯(lián)的非線性方程的求解,這個(gè)求解過(guò)程必須通過(guò)迭代和求解聯(lián)立方程組才能實(shí)現(xiàn)。這就是通常所說(shuō)的隱式求解法。

顯式求解是對(duì)時(shí)間進(jìn)行差分,不存在迭代和收斂問(wèn)題,最小時(shí)間步取決于最小單元的尺寸。過(guò)多和過(guò)小的時(shí)間步往往導(dǎo)致求解時(shí)間非常漫長(zhǎng),但總能給出一個(gè)計(jì)算結(jié)果。解題費(fèi)用非常昂貴。

利器

正所謂刀如屠龍,倚天不出,誰(shuí)與爭(zhēng)鋒?且看二者利器如何鋒芒畢露。

洪家鐵線拳腳法應(yīng)也犀利,十二路譚腿雙拳亦很給力。二者從概念上來(lái)講其實(shí)很泛,都可以進(jìn)行靜力學(xué)分析和動(dòng)力學(xué)分析。

隱式求解法最大的優(yōu)點(diǎn)是它具有無(wú)條件穩(wěn)定性,即時(shí)間步長(zhǎng)可以任意大(以K求逆的代價(jià)獲得)。能提供更有力的整體逼近,通過(guò)反復(fù)迭代保證結(jié)果精度。

對(duì)于顯式分析,當(dāng)前時(shí)刻的位移只與前一時(shí)刻的加速度和位移有關(guān),這就意味著當(dāng)前時(shí)刻的位移求解無(wú)需迭代過(guò)程。不存在收斂問(wèn)題。當(dāng)使用集中質(zhì)量矩陣時(shí),不需要求解線性方程組。

硬傷

習(xí)武之人如修金鐘罩者陽(yáng)氣護(hù)體,刀劍難損,然一旦被攻入氣門,則脆弱不堪。二者各自都有硬傷,且聽(tīng)老夫道來(lái)。

隱式求解法可能遇到兩個(gè)問(wèn)題。一是迭代過(guò)程不一定收斂,二是聯(lián)立方程組可能出現(xiàn)病態(tài)而無(wú)確定的解。不考慮慣性和阻尼情況下,隱式需要求解[k] {u}={F},由于無(wú)條件穩(wěn)定,可以使用大的時(shí)間步長(zhǎng)。然而,由于材料非線性和幾何非線性使得剛度矩陣不斷更新,F為體積力、面力和集中載荷的總成矩陣,計(jì)算步長(zhǎng)受精度限制,對(duì)于高度非線性問(wèn)題(如碰撞、爆炸等)不能保證收斂。且每次迭代都需要求解大型線性方程組,過(guò)程需要占用相當(dāng)數(shù)量的計(jì)算資源、磁盤空間和內(nèi)存。

顯式求解的缺點(diǎn)是時(shí)間步長(zhǎng)受到數(shù)值積分穩(wěn)定性的限制,不能超過(guò)系統(tǒng)的臨界時(shí)間步長(zhǎng)。因此,時(shí)間步長(zhǎng)需要?jiǎng)澐趾芗?xì)很細(xì)。

盡管隱式編程相對(duì)較難,然而其結(jié)果更為準(zhǔn)確。當(dāng)然,如果保證顯式解法的小小時(shí)間步長(zhǎng),顯式結(jié)果也十分可信。

應(yīng)用范圍

雖然佛道一家,畢竟各承衣缽。

大多數(shù)非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題一般多是采用顯式求解方法,特別是在求解大型結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)高度非線性問(wèn)題時(shí),顯式求解方法有明顯的優(yōu)越性。

為了確定單元內(nèi)力,兩種算法都求解節(jié)點(diǎn)加速度,區(qū)別在于計(jì)算節(jié)點(diǎn)加速度的方式。隱式用直接法求解一系列的線性方程組。而顯式算法采用集中質(zhì)量的方法使質(zhì)量矩陣對(duì)角化,這樣不需經(jīng)過(guò)迭代即可求解相互獨(dú)立的多個(gè)方程。并且采用中心差分法對(duì)時(shí)間進(jìn)行離散化,即假定加速度為常數(shù)以求得速度的變化,用這個(gè)速度的變化值加上前一個(gè)時(shí)間段中點(diǎn)的速度來(lái)確定當(dāng)前時(shí)間段的中點(diǎn)速度:速度沿時(shí)間積分的結(jié)果加上此時(shí)間段開(kāi)始時(shí)的位移,確定了時(shí)間段結(jié)束時(shí)的位移。這樣,在時(shí)間段開(kāi)始時(shí),提供了滿足動(dòng)力學(xué)平衡條件的加速度。

知道了加速度,通過(guò)對(duì)時(shí)間的“顯式”求解,可以進(jìn)一步求出速度和位移。所謂的“顯式”是指時(shí)間段結(jié)束時(shí)的形態(tài)僅取決于此時(shí)間段開(kāi)始時(shí)的位移、速度和加速度。為了得到精確的結(jié)果,時(shí)間增量段必須分得足夠小以保證加速度在時(shí)間段中近似為常數(shù),一般的分析需要成千上萬(wàn)個(gè)時(shí)間段。但由于不必同時(shí)求解聯(lián)立方程,每一個(gè)增量計(jì)算成本較低,大部分的計(jì)算機(jī)資源消耗在計(jì)算確定作用在節(jié)點(diǎn)上的單元內(nèi)力上。

使用顯式方法,計(jì)算成本消耗與單元數(shù)量成正比,并且大致與最小單元的尺寸成反比。應(yīng)用隱式方法,經(jīng)驗(yàn)表明對(duì)于許多問(wèn)題的計(jì)算成本大致與自由度數(shù)目的平方成正比,因此如果網(wǎng)格是相對(duì)均勻的,隨著模型尺寸的增長(zhǎng),顯式方法比隱式方法更加節(jié)省計(jì)算成本。

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