【理論】傅里葉變換與不確定性

2017-03-17 by:CAE仿真在線來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)

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在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有一個(gè)很容易被外行誤解的詞匯:信號(hào) (signal)。當(dāng)數(shù)學(xué)家們說(shuō)起「一個(gè)信號(hào)」的時(shí)候,他們腦海中想到的并不是交通指示燈所發(fā)出的閃爍光芒或者手機(jī)屏幕頂部的天線圖案,而是一段可以具體數(shù)字化的信息,可以是聲音,可以是圖像,也可是遙感測(cè)量數(shù)據(jù)。

簡(jiǎn)單地說(shuō),它是一個(gè)函數(shù),定義在通常的一維或者多維空間之上。譬如一段聲音就是一個(gè)定義在一維空間上的函數(shù),自變量是時(shí)間,因變量是聲音的強(qiáng)度,一幅圖像是定義在二維空間上的函數(shù),自變量是橫軸和縱軸坐標(biāo),因變量是圖像像素的色彩和明暗,如此等等。

在數(shù)學(xué)上,關(guān)于一個(gè)信號(hào)最基本的問(wèn)題在于如何將它表示和描述出來(lái)。按照上面所說(shuō)的辦法,把一個(gè)信號(hào)理解成一個(gè)定義在時(shí)間或空間上的函數(shù)是一種自然而然的表示方式,但是它對(duì)理解這一信號(hào)的內(nèi)容來(lái)說(shuō)常常不夠。例如一段聲音,如果單純按照定義在時(shí)間上的函數(shù)來(lái)表示,它畫(huà)出來(lái)是這個(gè)樣子的:

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這通常被稱(chēng)為波形圖。毫無(wú)疑問(wèn),它包含了關(guān)于這段聲音的全部信息。但是同樣毫無(wú)疑問(wèn)的是,這些信息幾乎沒(méi)法從上面這個(gè)「函數(shù)」中直接看出來(lái),事實(shí)上,它只不過(guò)是巴赫的小提琴無(wú)伴奏 Partita No.3 的序曲開(kāi)頭幾個(gè)小節(jié)。下面是巴赫的手稿,從某種意義上說(shuō)來(lái),它也構(gòu)成了對(duì)上面那段聲音的一個(gè)「描述」:

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這兩種描述之間的關(guān)系是怎樣的呢?第一種描述刻劃的是具體的信號(hào)數(shù)值,第二種描述刻劃的是聲音的高低(即聲音震動(dòng)的頻率)。人們直到十九世紀(jì)才漸漸意識(shí)到,在這兩種描述之間,事實(shí)上存在著一種對(duì)偶的關(guān)系,而這一點(diǎn)并不顯然。

1807 年,法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉 (J. Fourier) 在一篇向巴黎科學(xué)院遞交的革命性的論文 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (《固體中的熱傳播》)中,提出了一個(gè)嶄新的觀念:任何一個(gè)函數(shù)都可以表達(dá)為一系列不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)(即簡(jiǎn)單的三角函數(shù))的疊加。

有趣的是,這結(jié)論是他研究熱傳導(dǎo)問(wèn)題的一個(gè)副產(chǎn)品。這篇論文經(jīng)拉格朗日 (J. Lagrange)、拉普拉斯 (P-S. Laplace) 和勒讓德 (A-M. Legendre) 等人審閱后被拒絕了,原因是他的思想過(guò)于粗糙且極不嚴(yán)密。

1811 年傅立葉遞交了修改后的論文,這一次論文獲得了科學(xué)院的獎(jiǎng)金,但是仍然因?yàn)槿狈?yán)密性而被拒絕刊載在科學(xué)院的《報(bào)告》中。傅立葉對(duì)此耿耿于懷,直到 1824 年他本人成為了科學(xué)院的秘書(shū),才得以把他 1811 年的論文原封不動(dòng)地發(fā)表在《報(bào)告》里。

用今天的語(yǔ)言來(lái)描述,傅立葉的發(fā)現(xiàn)實(shí)際上是在說(shuō):任何一個(gè)信號(hào)都可以用兩種方式來(lái)表達(dá),一種就是通常意義上的表達(dá),自變量是時(shí)間或者空間的坐標(biāo),因變量是信號(hào)在該處的強(qiáng)度,另一種則是把一個(gè)信號(hào)「展開(kāi)」成不同頻率的簡(jiǎn)單三角函數(shù)(簡(jiǎn)諧振動(dòng))的疊加,于是這就相當(dāng)于把它看作是定義在所有頻率所組成的空間(稱(chēng)為頻域空間)上的另一個(gè)函數(shù),自變量是不同的頻率,因變量是該頻率所對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的幅度。

這兩個(gè)函數(shù)一個(gè)定義在時(shí)域(或空域)上,一個(gè)定義在頻域上,看起來(lái)的樣子通常截然不同,但是它們是在以完全不同的方式殊途同歸地描述著同一個(gè)信號(hào)。它們就象是兩種不同的語(yǔ)言,乍一聽(tīng)完全不相干,但是其實(shí)可以精確地互相翻譯。在數(shù)學(xué)上,這種翻譯的過(guò)程被稱(chēng)為「傅立葉變換」。

傅立葉變換是一個(gè)數(shù)學(xué)上極為精美的對(duì)象:

它是完全可逆的,任何能量有限的時(shí)域或空域信號(hào)都存在唯一的頻域表達(dá),反之亦然。
它完全不損傷信號(hào)的內(nèi)在結(jié)構(gòu):任何兩個(gè)信號(hào)之間有多少相關(guān)程度(即內(nèi)積),它們的頻域表達(dá)之間也一定有同樣多的相關(guān)程度。
它不改變信號(hào)之間的關(guān)聯(lián)性:一組信號(hào)收斂到一個(gè)特定的極限,它們的頻域表達(dá)也一定收斂到那個(gè)極限函數(shù)的頻域表達(dá)。

傅立葉變換就象是把信號(hào)徹底打亂之后以最面目全非的方式復(fù)述出來(lái),而一切信息都還原封不動(dòng)的存在著。要是科幻小說(shuō)作家了解這一點(diǎn),他們本來(lái)可以多出多少有趣的素材啊。

在傅立葉變換的所有這些數(shù)學(xué)性質(zhì)中,最不尋常的是這樣一種特性:一個(gè)在時(shí)域或空域上看起來(lái)很復(fù)雜的信號(hào)(譬如一段聲音或者一幅圖像)通常在頻域上的表達(dá)會(huì)很簡(jiǎn)單。

這里「簡(jiǎn)單」的意思是說(shuō)作為頻域上的函數(shù),它只集中在很小一塊區(qū)域內(nèi),而很大一部分?jǐn)?shù)值都接近于零。例如下圖是一張人臉和它對(duì)應(yīng)的傅立葉變換,可以看出,所有的頻域信號(hào)差不多都分布在中心周?chē)?而大部分周邊區(qū)域都是黑色的(即零)。

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這是一個(gè)意味深長(zhǎng)的事實(shí),它說(shuō)明一個(gè)在空域中看起來(lái)占滿全空間的信號(hào),從頻域中看起來(lái)很可能只不過(guò)占用了極小一塊區(qū)域,而大部分頻率是被浪費(fèi)了的。這就導(dǎo)出了一個(gè)極為有用的結(jié)論:一個(gè)看起來(lái)信息量很大的信號(hào),其實(shí)可以只用少得多的數(shù)據(jù)來(lái)加以描述。只要對(duì)它先做傅里葉變換,然后只記錄那些不接近零的頻域信息就可以了,這樣數(shù)據(jù)量就可以大大減少。

基本上,這正是今天大多數(shù)數(shù)據(jù)壓縮方法的基礎(chǔ)思想。在互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代,大量的多媒體信息需要在盡量節(jié)省帶寬和時(shí)間的前提下被傳輸,所以數(shù)據(jù)壓縮從來(lái)都是最核心的問(wèn)題之一。而今天幾乎所有流行的數(shù)據(jù)壓縮格式,無(wú)論是聲音的 mp3 格式還是圖像的 jpg 格式,都是利用傅立葉變換才得以發(fā)明的。從這個(gè)意義上說(shuō)來(lái),幾乎全部現(xiàn)代信息社會(huì)都建立在傅立葉的理論的基礎(chǔ)之上。

這當(dāng)然是傅立葉本人也始料未及的。

傅立葉變換這種對(duì)偶關(guān)系的本質(zhì),是把一塊信息用徹底打亂的方式重新敘述一遍。正如前面所提到的那樣,一個(gè)信號(hào)可能在空域上顯得內(nèi)容豐富,但是當(dāng)它在頻域上被重新表達(dá)出來(lái)的時(shí)候,往往就在大多數(shù)區(qū)域接近于零。反過(guò)來(lái)這個(gè)關(guān)系也是對(duì)稱(chēng)的:一個(gè)空域上大多數(shù)區(qū)域接近于零的信號(hào),在頻域上通常都會(huì)占據(jù)絕大多數(shù)頻率。

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有沒(méi)有一種信號(hào)在空域和頻域上的分布都很廣泛呢?有的,最簡(jiǎn)單的例子就是噪聲信號(hào)。一段純粹的白噪聲,其傅立葉變換也仍然是噪聲,所以它在空域和頻域上的分布都是廣泛的。如果用信號(hào)處理的語(yǔ)言來(lái)說(shuō),這就說(shuō)明「噪聲本身是不可壓縮的」。這并不違反直覺(jué),因?yàn)樾盘?hào)壓縮的本質(zhì)就是通過(guò)挖掘信息的結(jié)構(gòu)和規(guī)律來(lái)對(duì)它進(jìn)行更簡(jiǎn)潔的描述,而噪聲,顧名思義,就是沒(méi)有結(jié)構(gòu)和規(guī)律的信號(hào),自然也就無(wú)從得以壓縮。

另一方面,有沒(méi)有一種信號(hào)在空域和頻域上的分布都很簡(jiǎn)單呢?換句話說(shuō),存不存在一個(gè)函數(shù),它在空間上只分布在很少的幾個(gè)區(qū)域內(nèi),并且在頻域上也只占用了很少的幾個(gè)頻率呢?(零函數(shù)當(dāng)然滿足這個(gè)條件,所以下面討論的都是非零函數(shù)。)

答案是不存在。這就是所謂的 uncertainty principle(不確定性原理)。

這一事實(shí)有極為重要的內(nèi)涵,但是其重要性并不容易被立刻注意到。它甚至都不是很直觀:大自然一定要限制一個(gè)信號(hào)在空間分布和頻率分布上都不能都集中在一起,看起來(lái)并沒(méi)有什么道理啊。

這個(gè)原理可以被盡量直觀地解釋如下:所謂的頻率,本質(zhì)上反應(yīng)的是一種長(zhǎng)期的全局的趨勢(shì),所以任何一個(gè)單一的頻率,一定對(duì)應(yīng)于一個(gè)在時(shí)空中大范圍存在的信號(hào)。反過(guò)來(lái),任何只在很少一塊時(shí)空的局部里存在的信號(hào),都存在很多種不同的長(zhǎng)期發(fā)展的可能性,從而無(wú)法精確推斷其頻率。

讓我們?nèi)匀挥靡魳?lè)來(lái)作例子。聲音可以在時(shí)間上被限制在一個(gè)很小的區(qū)間內(nèi),譬如一個(gè)聲音只延續(xù)了一剎那。聲音也可以只具有極單一的頻率,譬如一個(gè)音叉發(fā)出的聲音(如果你拿起手邊的固定電話,里面的撥號(hào)音就是一個(gè) 440Hz 的純音加上一個(gè) 350Hz 的純音,相當(dāng)于音樂(lè)中的 A-F 和弦)。

但是不確定性原理告訴我們,這兩件事情不能同時(shí)成立,一段聲音不可能既只占據(jù)極短的時(shí)間又具有極純的音頻。當(dāng)聲音區(qū)間短促到一定程度的時(shí)候,頻率就變得不確定了,而頻率純粹的聲音,在時(shí)間上延續(xù)的區(qū)間就不能太短。因此,說(shuō)「某時(shí)某刻那一剎那的一個(gè)具有某音高的音」是沒(méi)有意義的。

這看起來(lái)像是一個(gè)技術(shù)性的困難,而它實(shí)際上反映出卻是大自然的某種本質(zhì)規(guī)律:任何信息的時(shí)空分辨率和頻率分辨率是不能同時(shí)被無(wú)限提高的。一種波動(dòng)在頻率上被我們辨認(rèn)得越精確,在空間中的位置就顯得越模糊,反之亦然。

這一規(guī)律對(duì)于任何熟悉現(xiàn)代多媒體技術(shù)的人來(lái)說(shuō)都是熟知的,因?yàn)樗鼮樾盘?hào)處理建立了牢不可破的邊界,也在某種程度上指明了它發(fā)展的方向。

既然時(shí)空分辨率和頻率分辨率不能同時(shí)無(wú)限小,那人們總可以去研究那些在時(shí)空分布和頻率分布都盡量集中的信號(hào),它們?cè)谀撤N意義上構(gòu)成了信號(hào)的「原子」,它們本身有不確定性原理所允許的最好的分辨率,而一切其他信號(hào)都可以在時(shí)空和頻率上分解為這些原子的疊加。

這一思路在四十年代被 D. Gabor (他后來(lái)因?yàn)榘l(fā)明全息攝影而獲得了 1971 年的諾貝爾物理獎(jiǎng))所提出,成為整個(gè)現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理的奠基性思想,一直影響到今天。

但是眾所周知,不確定性原理本身并不是數(shù)學(xué)家的發(fā)明,而是來(lái)自于量子物理學(xué)家的洞察力。同樣一條數(shù)學(xué)結(jié)論可以在兩個(gè)截然不相干的學(xué)科分支中都產(chǎn)生歷史性的影響,這大概是相當(dāng)罕見(jiàn)的例子了。

不確定性原理事實(shí)上不是一個(gè)單獨(dú)的定理,而是一組定理的統(tǒng)稱(chēng)?；旧?凡是刻劃一個(gè)信號(hào)不能在時(shí)空域和頻域上同時(shí)過(guò)于集中的命題都可以稱(chēng)為不確定性原理,由于這里「集中」這一性質(zhì)可以有不同的數(shù)學(xué)描述,也就對(duì)應(yīng)著不同的數(shù)學(xué)定理。

但是在所有冠以「不確定性原理」之名的定理中,最著名的當(dāng)然是海森堡 (W. Heisenberg) 在 1927 年所提出的影響物理學(xué)發(fā)展至深的那個(gè)版本。它精確的數(shù)學(xué)描述是:

假定一個(gè)信號(hào)的總能量為 1,則這個(gè)信號(hào)和它的傅立葉變換的能量的方差之積不小于 1/16π2。

換言之,兩者各自的能量都可能很集中,但是不能同時(shí)很集中。如果時(shí)空域中能量的方差很小(亦即集中在一起),那么頻域上能量的方差就不會(huì)太小(亦即必然會(huì)彌散開(kāi)),反之亦然。

對(duì)這個(gè)定理在量子物理中的意義的詳細(xì)討論超出了本文的話題范圍,坊間相關(guān)的著作已有不少。不過(guò),下面簡(jiǎn)單臚列了一些相關(guān)的歷史事實(shí):

海森堡在 1927 年的那篇文章標(biāo)題為 Ueber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik(《量子理論運(yùn)動(dòng)學(xué)和力學(xué)的直觀內(nèi)容》)。這篇文章很大程度上是對(duì)薛定諤 (E. Schr?dinger) 在 1926 年所提出的薛定諤波動(dòng)方程的回應(yīng)。相較于海森堡的矩陣力學(xué)而言,薛定諤的方程很快由于它物理上的直觀明晰而吸引了越來(lái)越多物理學(xué)家的贊賞。海森堡對(duì)此極為失落。在 1926 年 6 月 8 日海森堡寫(xiě)給泡利 (W. Pauli) 的信中他說(shuō):「我對(duì)薛定諤的理論想得越多我就越覺(jué)得惡心?！挂虼?他迫切需要給他自己的理論配上一幅更直觀的圖象。
海森堡的這篇文章提出了后來(lái)被人們所熟悉的關(guān)于為什么無(wú)法同時(shí)測(cè)量一個(gè)電子的位置和動(dòng)量的解釋,但是并未給出任何嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。他把他的結(jié)論籠統(tǒng)地表達(dá)為 Δx Δp ≥ ?,其中 x 是位置,p 是動(dòng)量,? 是普朗克常數(shù)。但他并沒(méi)有詳細(xì)說(shuō)明 Δx 和 Δp 的嚴(yán)格意思,只針對(duì)若干具體情形做了一些直觀的討論。
第一個(gè)從數(shù)學(xué)上證明不確定性原理的物理學(xué)家是 E. Kennard。他在 1927 年證明了文章開(kāi)頭所描述的定理,指出 Δx 和 Δp 的數(shù)學(xué)意義其實(shí)是方差。這種解釋很快就成了海森堡不確定性原理的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)表達(dá),海森堡本人 1930 年在芝加哥所做的演講中也使用了這種數(shù)學(xué)推導(dǎo)來(lái)佐證他的立論。需要說(shuō)明的是,海森堡盡管很快接收了這一數(shù)學(xué)解釋,但是后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)在他本人原先的論文里所舉的那些例子中,有很多被他用 Δx 和 Δp 籠統(tǒng)概括的含混概念其實(shí)是無(wú)法被解釋成方差的。在他心目中,不確定性原理首先是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)事實(shí),其次才是一個(gè)數(shù)學(xué)定理。
海森堡并未將他的發(fā)現(xiàn)命名為不確定性「原理」,而只是稱(chēng)之為一種「關(guān)系」。愛(ài)丁頓 (A. Eddington) 在 1928 年似乎第一個(gè)使用了原理一詞,將之稱(chēng)為 principle of indeterminacy,后來(lái) uncertainty principle 這種說(shuō)法才漸漸流行起來(lái)。海森堡本人始終稱(chēng)之為 ungenauigkeitsrelationen/unbestimmtheitsrelationen(相當(dāng)于英語(yǔ)的 inaccuracy/indeterminacy relations),直到五十年代才第一次接受了 principle 這種叫法。

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海森堡

有趣的是,即使很多信號(hào)處理或者量子力學(xué)領(lǐng)域的專(zhuān)家也不知道自己平時(shí)所討論的不確定性原理和對(duì)方的其實(shí)是一回事。這兩者之間的聯(lián)系也的確并不太顯然,一個(gè)關(guān)注信號(hào)的時(shí)空和頻域分布,一個(gè)關(guān)注粒子的運(yùn)動(dòng)和能量。它們之間的相關(guān)性只有從數(shù)學(xué)公式上才看起來(lái)比較明顯。

在海森堡的時(shí)代當(dāng)然并不存在「信號(hào)處理」這一學(xué)科,數(shù)學(xué)家們也只把不確定性原理當(dāng)作一條純數(shù)學(xué)的結(jié)論來(lái)對(duì)待。他們什么時(shí)候最先注意到這一定理并不是很清楚。有記錄表明維納 (N. Wiener) 1925 年在哥廷根的一次講座中提到了類(lèi)似的結(jié)論,但是那次講座并沒(méi)有任何紙面材料流存下來(lái)。

外爾 (H. Weyl) 在 1928 年名為《群論與量子力學(xué)》的論著中證明了這一定理,但他將之歸功于泡利的發(fā)現(xiàn)。直到 1946 年 D. Gabor 的一篇名為《通訊理論》的經(jīng)典論文才真正讓這個(gè)定理以今天信號(hào)處理領(lǐng)域的專(zhuān)家們所熟悉的方式流傳開(kāi)來(lái)。

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左:Weyl; 右:Gabor

正如前面說(shuō)過(guò)的那樣,在數(shù)學(xué)上不確定性原理不僅僅有海森堡這一個(gè)版本,而其實(shí)是一組定理的統(tǒng)稱(chēng)。譬如哈代 (G. Hardy) 在 1933 年證明了一個(gè)和海森堡原理類(lèi)似的定理,今天一般稱(chēng)為哈代不確定性原理。

海森堡和哈代的定理都只約束了信號(hào)在時(shí)空域和頻域的大致分布,而并沒(méi)有限制它們同時(shí)集中在有限大的區(qū)域內(nèi)。M. Benedicks 第一個(gè)證明了信號(hào)在時(shí)空域和頻域中確實(shí)不能同時(shí)集中在有限大的區(qū)域內(nèi),而這已經(jīng)是 1974 年的事情了。

到二十世紀(jì)末,人們對(duì)「信號(hào)」這個(gè)詞的理解已經(jīng)發(fā)生了微妙的變化。如果在二十世紀(jì)上半葉的時(shí)候提到一個(gè)信號(hào),人們還傾向于將它理解為一個(gè)連續(xù)的函數(shù)。而到下半葉,信號(hào)已經(jīng)越來(lái)越多地對(duì)應(yīng)于一個(gè)離散的數(shù)組。毫無(wú)疑問(wèn),這是電子計(jì)算機(jī)革命的后果。

在這樣的情形下,「不確定性原理」也有了新的形式。在連續(xù)情形下,我們可以討論一個(gè)信號(hào)是否集中在某個(gè)區(qū)域內(nèi)。而在離散情形下,重要的問(wèn)題變成了信號(hào)是否集中在某些離散的位置上,而在其余位置上是零。數(shù)學(xué)家給出了這樣有趣的定理:

一個(gè)長(zhǎng)度為 N 的離散信號(hào)中有 a 個(gè)非零數(shù)值,而它的傅立葉變換中有 b 個(gè)非零數(shù)值,那么 a+b ≥ 2√N(yùn)。

也就是說(shuō)一個(gè)信號(hào)和它的傅立葉變換中的非零元素不能都太少。毫無(wú)疑問(wèn),這也是某種新形式的「不確定性原理」。

在上面的定理中,如果已知 N 是素?cái)?shù),那么我們甚至還有強(qiáng)得多的結(jié)論(它是 N. Chebotarev 在 1926 年證明的一個(gè)定理的自然推論):

一個(gè)長(zhǎng)度為素?cái)?shù) N 的離散信號(hào)中有 a 個(gè)非零數(shù)值,而它的傅立葉變換中有 b 個(gè)非零數(shù)值,那么 a+b > N。

不幸的是這里「素?cái)?shù)」的條件是必須的。對(duì)于非素?cái)?shù)來(lái)說(shuō),第二條命題很容易找到反例,這時(shí)第一條命題已經(jīng)是能夠達(dá)到的最好結(jié)果了。

這些定理有什么用呢?如果它僅僅是能用來(lái)說(shuō)明某些事情做不到,就像它字面意思所反映出的那樣,那它的用處當(dāng)然相對(duì)有限?？墒恰@無(wú)疑是辯證法的一個(gè)好例證——這樣一系列宣稱(chēng)「不確定」的定理,事實(shí)上是能夠用來(lái)推出某些「確定」的事實(shí)的。

設(shè)想這樣一種情況:假定我們知道一個(gè)信號(hào)總長(zhǎng)度為 N,已知其中有很大一部分值是零,但是不知道是哪一部分(這是很常見(jiàn)的情形,大多數(shù)信號(hào)都是如此),于此同時(shí),我們測(cè)量出了這個(gè)信號(hào)在頻域空間中的 K 個(gè)頻率值,但是 K<N (也就是我們的測(cè)量由于某些原因并不完整,漏掉了一部分頻域信息)。有沒(méi)有可能把這個(gè)信號(hào)還原出來(lái)呢?

按照傳統(tǒng)的信號(hào)處理理論,這是不可能的,因?yàn)檎缜懊嫠f(shuō)的那樣,頻域空間和原本的時(shí)空域相比,信息量是一樣多的,所以要還原出全部信號(hào),必須知道全部的頻域信息,就象是要解出多少個(gè)未知數(shù)就需要多少個(gè)方程一樣。如果只知道一部分頻域信息,就像是只知道 K 個(gè)方程,卻要解出 N 個(gè)未知數(shù)來(lái),任何一個(gè)學(xué)過(guò)初等代數(shù)的人都知道,既然 K<N,解一定是不唯一的。

但是借助不確定性原理,卻正可以做到這一點(diǎn)!原因是我們關(guān)于原信號(hào)有一個(gè)「很多位置是零」的假設(shè)。

那么,假如有兩個(gè)不同的信號(hào)碰巧具有相同的 K 個(gè)頻率值,那么這兩個(gè)信號(hào)的差的傅立葉變換在這 K 個(gè)頻率位置上就是零。另一方面,因?yàn)閮蓚€(gè)不同的信號(hào)在原本的時(shí)空域都有很多值是零,它們的差必然在時(shí)空域也包含很多零。

不確定性原理(一個(gè)函數(shù)不能在頻域和時(shí)空域都包含很多零)告訴我們,這是不可能的。于是,原信號(hào)事實(shí)上是唯一確定的!

這當(dāng)然是一個(gè)非常違反直覺(jué)的結(jié)論。它說(shuō)明在特定的情況下,我們可以用較少的方程解出較多的未知數(shù)來(lái)。這件事情在應(yīng)用上極為重要。一個(gè)簡(jiǎn)單的例子是醫(yī)學(xué)核磁共振技術(shù)(很多家里有重病患者的朋友應(yīng)該都聽(tīng)說(shuō)過(guò)這種技術(shù))。

核磁共振成像本質(zhì)上就是采集身體圖像的頻域信息來(lái)還原空間信息。由于采集成本很高,所以核磁共振成像很昂貴,也很消耗資源。但是上述推理說(shuō)明,事實(shí)上核磁共振可以只采集一少部分頻域信息(這樣成本更低速度也更快),就能完好還原出全部身體圖像來(lái),這在醫(yī)學(xué)上的價(jià)值是不可估量的。

在今天,類(lèi)似的思想已經(jīng)被應(yīng)用到極多不同領(lǐng)域,從醫(yī)學(xué)上的核磁共振和 X 光斷層掃描到石油勘測(cè)和衛(wèi)星遙感。簡(jiǎn)而言之:不確定性可以讓測(cè)量的成本更低效果更好,雖然這聽(tīng)起來(lái)很自相矛盾。

糟糕的是,本篇開(kāi)頭所描述的那個(gè)不確定性定理還不夠強(qiáng),所能帶來(lái)的對(duì)頻域測(cè)量的節(jié)省程度還不夠大。但是數(shù)學(xué)上它又是不可改進(jìn)的。這一僵局在本世紀(jì)初被打破了。E. Candès 和陶哲軒等人證明了一系列新的不確定性原理,大大提高了不等式的強(qiáng)度,付出的代價(jià)是……隨機(jī)性。他們的定理可以粗略敘述為:

一個(gè)長(zhǎng)度為 N 的離散信號(hào)中有 a 個(gè)非零數(shù)值,而它的傅立葉變換中有 b 個(gè)非零數(shù)值,那么 a+b 以極大概率不小于 N/√(log N) 乘以一個(gè)常數(shù)。

這里的「極大概率」并不是一個(gè)生活用語(yǔ),而是一個(gè)關(guān)于具體概率的精確的數(shù)學(xué)描述。換言之,雖然在最倒霉的情況下不確定性可以比較小,但是這種情況很罕見(jiàn)。一般來(lái)說(shuō),不確定性總是很大。于是可以帶來(lái)的測(cè)量上的節(jié)約也很大。

這當(dāng)然也是一種「不確定性原理」,而且因?yàn)橐肓穗S機(jī)性,所以在某種意義上來(lái)說(shuō)比原先的定理更「不確定」。在他們的工作的基礎(chǔ)上,一種被稱(chēng)為「壓縮感知」的技術(shù)在最近的五六年內(nèi)如火如荼地發(fā)展起來(lái),已經(jīng)成為涵蓋信號(hào)處理、信息提取、醫(yī)學(xué)成像等等多個(gè)工程領(lǐng)域的最重要的新興工程技術(shù)之一。

不過(guò),這些后續(xù)的發(fā)展估計(jì)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出海森堡的本意了。

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